1樓：易冷鬆
1，1/2，1/2^2，...，1/2^n是首項為1、公比為1/2的等比數列。
1+1/2+1/2^2+...+1/2^n是n+1項。
1+1/2+1/2^2+...+1/2^n=[1-1/2^(n+1)]/(1-1/2)=2-2^(n+2)。
2樓：匿名使用者
設s=1+1/2+1/2^2+...+1/2^n等式兩邊同乘1/2，得1/2s=1/2+1/2^2+1/2^3+....+1/2^(n+1)
兩式相減,s-1/2s=1/2s=1+1/2+1/2^2+...+1/2^n-[1/2+1/2^2+1/2^3+....+1/2^(n+1)]
=1-1/2^(n+1)
故s=2-1/2^n (等式兩邊同乘2)
3樓：新野旁觀者
1+1/2+1/2^2+...+1/2^n
=1+1-1/2^n
=2-1/2^n
4樓：小盆友來聊聊
首項為a1=1、公比q=1/2、有n+1項sn=a1(1-q^n)/(1-q) 代值sn=1(1-(1/2)^(n+1))/(1-(1/2))sn=2-1/2^n
1^2+2^2+3^2+4^2+....+n^2 的計算公式是什麼
5樓：你愛我媽呀
^s=(1/6)n(n+1)(2n+1)。
推導過程：
設s=1^2+2^2+....+n^2
(n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1
...2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1
把上面n個式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+....+n] +n
所以s= (1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] = (1/6)n(n+1)(2n+1)
擴充套件資料：
數列求和方法
1、分組求和：把一個數列分成幾個可以直接求和的數列。
2、拆項相消：有時把一個數列的通項公式分成兩項差的形式，相加過程消去中間項，只剩有限項再求和。
3、錯位相減：適用於一個等差數列和一個等比數列對應項相乘構成的數列求和。
4、倒序相加：例如，等差數列前n項和公式的推導。
6樓：等待楓葉
^^1^2+2^2+3^2+4^2+....+n^2 的計算公式是n*(n+1)*(2n+1)/6。
解：1、因為當n=1時，1^2=1=1*(1+1)*(2x1+1)/6=1，
2、當n=2時，1^2+2^2=5=2*(2+1)*(2x2+1)/6=5，
3、設n=k（k≥2，k為正數）時，1^2+2^2+3^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6成立。
那麼當n=k+1時，
1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=k*(k+1)*(2k+1)/6+(k+1)^2，
而k*(k+1)*(2k+1)/6+(k+1)^2
=(k+1)*(k*(2k+1)/6+(k+1))
=(k+1)*(k*(2k+1)+6(k+1))/6
=1/6*(k+1)*(2k^2+7k+6)
=1/6*(k+1)*(2k+3)*(k+2)
=(k+1)*((k+1)+1)*(2(k+1)+1)/6，
即1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=(k+1)*((k+1)+1)*(2(k+1)+1)/6也滿是公式。
所以根據數學歸納法，對一切自然數n有1^2+2^2+3^2+4^2+....+n^2 的計算公式是n*(n+1)*(2n+1)/6。
7樓：趙芷曼
^^設s=1^2+2^2+....+n^2(n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1...
.. ...
2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1把上面n個式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+....+n] +n
所以s= (1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] = (1/6)n(n+1)(2n+1)
8樓：匿名使用者
^^設s=1^2+2^2+....+n^2 (n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1 n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1 ... ..
... 2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1 把上面n個式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...
+n^2] +3*[1+2
9樓：韓罕憨漢
原式＝n（n＋1）／2•（n＋n＋1）／3
＝n（n＋）（2n＋1）／6
10樓：東東西西580怕
想像一個有圓圈構成的正三角形，
第一行1個圈，圈內的數字為1
第二行2個圈，圈內的數字都為2，
以此類推
第n行n個圈，圈內的數字都為n，
我們要求的平方和，就轉化為了求這個三角形所有圈內數字的和。設這個數為r
下面將這個三角形順時針旋轉60度，得到第二個三角形再將第二個三角形順時針旋轉60度，得到第三個三角形然後，將這三個三角形對應的圓圈內的數字相加，我們神奇的發現所有圈內的數字都變成了2n+1而總共有幾個圈呢，這是一個簡單的等差數列求和1+2+……+n=n(n+1)/2
於是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)r=n(n+1)(2n+1)/6
sn=1+1/2+1/3+1/4+......+1/n這個怎麼求和的？
11樓：假面
求不了，調和級數s=1+1/2+1/3+……是發散的，證明如下：
由於ln(1+1/n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]
=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
由於lim sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞
所以sn的極限不存在，調和級數發散。
但極限s=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）卻存在，因為
sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)
=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)
由於lim sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0
因此sn有下界
而sn-s(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]
=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0
所以sn單調遞減。由單調有界數列極限定理，可知sn必有極限，因此
s=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。
於是設這個數為γ，這個數就叫作尤拉常數，他的近似值約為0.57721566490153286060651209，目前還不知道它是有理數還是無理數。在微積分學中，尤拉常數γ有許多應用，如求某些數列的極限，某些收斂數項級數的和等。
例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞），可以這樣做：
lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2
擴充套件資料：
隨後很長一段時間，人們無法使用公式去逼近調和級數，直到無窮級數理論逐步成熟。2023年牛頓在他的著名著作《流數法》中推匯出第一個冪級數：
ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...
euler(尤拉)在2023年，利用newton的成果，首先獲得了調和級數有限多項和的值。結果是：
1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r為常量)
他的證明是這樣的：
根據newton的冪級數有：
ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...
於是：1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...
代入x=1,2,...,n，就給出：
1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...
1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - ...
......
1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...
相加，就得到：
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...
+1/n^3) + ......
後面那一串和都是收斂的，我們可以定義
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + r
euler近似地計算了r的值，約為0.5772156649。這個數字就是後來稱作的尤拉常數。
12樓：匿名使用者
求不了，這個是發散的。沒有極限，就是說可以加到正無窮，沒辦法表示 最佳答案它是實數，所以它不是有理數就是無理數，而上兩層的人說“談不上到底是無理數還是有理數”的說法顯然是錯誤的。而根據種種依據可判斷它是無理數。
具體證明過程如下： 首先我們可以知道實數包括有理數和無理數。而有理數又包括有限小數和無限迴圈小數，有理數都可以劃成兩個有限互質整數相除的形式（整數除外）。
而1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n為無限大)通分以後的分子和分母都是無窮大，不是有限整數，且不能約分，所以它不屬於有理數，因此它是無理數。 其實無窮個有理數相加未必就是有理數，而有可能等於無理數。
我可以舉個很簡單的例子。 圓周率pi=3.1415926...
是個無理數大家都知道吧，我可以把它分解成pi=3+0.1+0.04+0.
001+0.0005+...的形式，等號右側的每一項都是有理數，那麼我們能說pi是有理數嗎？
當然不能。所以無窮個有理數相加可能是無理數。 那麼為什麼我說1+1/2+1/3+1/4+1/5+...
+1/n (n為無限大)是無理數而不是有理數呢？我再從一種角度給你證明。 1+1/2+1/3+1/4+1/5+...
+1/n (n為無限大)是一個無窮小數你承認吧，不然我們討論有理數還是無理數就沒什麼意義了。無限迴圈小數都有迴圈節，所以無限迴圈小數都可以根據等比數列知識劃成兩個互質整數相除的形式。 而1+1/2+1/3+1/4+1/5+...
+1/n (n為無限大)不存在迴圈節，不可能根據等比數列知識劃成兩個互質整數相除的形式。所以它終究是無理數。 這是有名的調和級數，應該是高數中的東西，這題目用n!
無濟於事的 當n->∞，1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n->∞，是個發散級數 當n很大時，有個近似公式：1+1/2+1/3+1/4+1/5+...
+1/n=γ+ln(n) γ是尤拉常數，γ=0.57721566490153286060651209... ln(n)是n的自然對數（即以e為底的對數，e=2.
71828...）
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1 5 6是第30個數 2 第50個數是1 8 八分之一 白日衣衫盡 1 可以看出，以1 2 3 4 為分母的分數，分別有1 3 5 7 個，這是個等差數列，a1 1，d 2 所以分母1到5，一共有1 3 5 7 9 25個，5 6是以6為分母的分式中的第五個，25 5 30。所以5 6是這串分式中...