1樓：我的我451我
先證假定區域d 的形狀如下（用平行於軸的直線穿過區域，與區域邊界曲線的交點至多兩點）。
易見，圖二所表示的區域是圖一所表示的區域的一種特殊情況，我們僅對圖一所表示的區域d。
給予證明即可。
另一方面，據對座標的曲線積分性質與計演算法有：
假設將ab曲線上移，或ec曲線下移，使ae重合或者bc重合，便可以認為是一條常規的曲線。也可以認為某條常規曲線是由右圖將ae或bc長度設為零形成的。
再假定穿過區域d內部且平行於x軸的直線與d的邊界曲線的交點至多是兩點。
將兩式合併之後即得格林公式：
2樓：學史部落格
格林公式是將區域積分的二重積分和曲線積分的一重積分進行互相轉化的公式，如下圖所示。
區域d的邊界曲線是l，對p(x,y)和q(x,y)。求
其實這正好就是格林公式能做的事情，
在我眼裡，我覺得格林公式是一個非常有美感的公式，或者說是一個數學性質。就好像微積分基本定理一樣，是一個美麗的性質。也由於此，我也想部落格一篇關於格林公式的證明。
這個證明過程，其實可以看這裡。和這個參考頁相比，基本上是抄他的。只是希望我的過程可以更通俗易懂。
1,我們假設有一個p(x,y)並且，可以有
求由於這是對y的偏導數。所以，我們這個二重積分裡，先對y進行積分。
這裡假設x的積分下限、上限分別是x1、x2,y的積分下限、上限分別是y1、y2。
我們可以繼續
（這裡注意一下最後的封閉積分的前面有一個負號。因為封閉曲線的正方程是逆時針方向，而上面在曲線y1(x)上的積分是從x2到x1,y2(x)上的積分是從x1到x2是正時針方向）
我們得到了
同樣的推導方式，也可以得到
將（2）式減去(1)式，就是美麗的格林公式(0)。
3樓：yzwb我愛我家
公式描述：
公式中d為分段光滑的曲線l圍成的閉區域，函式p(x,y)及q(x,y)在d上具有一階連續偏導數。
假定區域d的形狀如下（用平行於y軸的直線穿過區域，與區域邊界曲線的交點至多兩點）
易見，圖二所表示的區域是圖一所表示的區域d的一種特殊情況，我們僅對圖一所表示的區域d給予證明即可。
另一方面，據對座標的曲線積分性質與計演算法有
假設將ab曲線上移，或ec曲線下移，使ae重合或者bc重合，便可以認為是一條常規的曲線。也可以認為某條常規曲線是由右圖將ae或bc長度設為零形成的。
再假定穿過區域d內部且平行於x軸的直線與d的邊界曲線的交點至多是兩點，用類似的方法可證：
將兩式合併之後即得格林公式：
若區域不滿足以上條件，即穿過區域內部且平行於座標軸的直線與邊界曲線的交點超過兩點時，可在區域內引進一條或幾條輔助曲線把它分劃成幾個部分割槽域，使得每個部分割槽域適合上述條件，仍可證明格林公式成立.
格林公式溝通了二重積分與對座標的曲線積分之間的聯絡，因此其應用十分地廣泛
4樓：神王無敵
格林公式
設閉區域d由分段光滑的曲線l圍成，函式p(x,y)及q(x,y) 在d上具有一階連續偏導數，則有
其中l是d的取正向的邊界曲線.
單連通區域的概念
設d為平面區域，如果d內任一閉曲線所圍的部分割槽域都屬於d，則d稱為平面單連通區域；否則稱為復連通區域.
通俗地講，單連通區域是不含"洞"(包括"點洞")與"裂縫"的區域.
陳述
證明
假設將ab曲線上移，或ec曲線下移，使ae重合或者bc重合，便可以認為是一條常規的曲線。也可以認為某條常規曲線是由右圖將ae或bc長度設為零形成的。
注：若區域不滿足以上條件，即穿過區域內部且平行於座標軸的直線與邊界曲線的交點超過兩點時，可在區域內引進一條或幾條輔助曲線把它分劃成幾個部分割槽域，使得每個部分割槽域適合上述條件，仍可證明格林公式成立.
格林公式溝通了二重積分與對座標的曲線積分之間的聯絡，因此其應用十分地廣泛。
5樓：沾化冬棗
格林公式，是一個數學公式，設閉區域d由分段光滑的曲線l圍成，函式p(x,y)及q(x,y) 在d上具有一階連續偏導數，則有其中l是d的取正向的邊界曲線。由此類比，在平面區域 上的二重積分也可以通過沿區域 的邊界曲線 上的曲線積分來表示。
一般用於二元函式的全微分求積。
6樓：匿名使用者
書上有，求採納！！！！！！！！！！！！！！！！！
7樓：福是平平安安
【證明】先證
假定區域的形狀如下(用平行於軸的直線穿過區域,與區域邊界曲線的交點至多兩點)
易見,圖二所表示的區域是圖一所表示的區域的一種特殊情況,我們僅對圖一所表示的區域給予證明即可.
另一方面,據對座標的曲線積分性質與計演算法有
因此 再假定穿過區域內部且平行於軸的直線與的的邊界曲線的交點至多是兩點,用類似的方法可證
綜合有當區域的邊界曲線與穿過內部且平行於座標軸( 軸或軸 )的任何直線的交點至多是兩點時,我們有
, 同時成立.
將兩式合併之後即得格林公式
注:若區域不滿足以上條件,即穿過區域內部且平行於座標軸的直線與邊界曲線的交點超過兩點時,可在區域內引進一條或幾條輔助曲線把它分劃成幾個部分割槽域,使得每個部分割槽域適合上述條件,仍可證明格林公式成立.
8樓：匿名使用者
真不要臉，複製別人的勞動成果！
格林公式的證明 20
9樓：匿名使用者
這個問題己經四年了啊...，估計你己經明白或不需要這個答案了但是為了給初學曲線積分的人一點貢獻，
因為積分割槽域從 x-型情形來看 和 從 y-型情形來看是不同的x - 型情形 a < x < b , ab 對應的是下弧線l1, ba 對應的是上弧線l2，積分方向是逆時針
而y -型情形 c < y < d , cd 對應的是右弧線l3（位置對應於x-型情形的l2）, dc 對應的是左弧線l4（位置對應於x-型情形的l1），積分方向是順時針
因為積分方向不同，所以符號是相反的，p有負號，q沒有負號
10樓：問題專家黃烈焰
【證明】先證
假定區域的形狀如下(用平行於軸的直線穿過區域,與區域邊界曲線的交點至多兩點)
易見,圖二所表示的區域是圖一所表示的區域的一種特殊情況,我們僅對圖一所表示的區域給予證明即可.
另一方面,據對座標的曲線積分性質與計演算法有
因此 再假定穿過區域內部且平行於軸的直線與的的邊界曲線的交點至多是兩點,用類似的方法可證
綜合有當區域的邊界曲線與穿過內部且平行於座標軸( 軸或軸 )的任何直線的交點至多是兩點時,我們有
, 同時成立.
將兩式合併之後即得格林公式
注:若區域不滿足以上條件,即穿過區域內部且平行於座標軸的直線與邊界曲線的交點超過兩點時,可在區域內引進一條或幾條輔助曲線把它分劃成幾個部分割槽域,使得每個部分割槽域適合上述條件,仍可證明格林公式成立.
格林公式的證明中，為什麼需要求p對y的偏導數並用二重積分計演算法？
11樓：pasirris白沙
1、雖然樓抄
主並沒有襲將本題的全部上傳，但是這部分的證明是對的，是傳統的證明，也就是講義的編者是完全抄襲而來，剽竊而已！
2、格林定理的核心是：
將一個在單連通域上的沿著固定的閉合迴路的一重積分，跟在這個閉合迴路內的二重積分聯絡了起來。
格林定理的意義在於：
在二維的情況下，可得推匯出保守場內保守力做功與路徑無關，保守場的勢能就得到了數學理論上的證明。
3、既然格林定理是聯絡一重閉合迴路積分跟閉合迴路內二重積分的關係，那麼證明，就可以從二重積分著手，也可以從閉合迴路積分著手，或兩者同時進行。
講義上的方法，真是最後一種方法，兩者同時進行。
而首先進行的是將二重積分 double integral 轉化為累次積分，
iterated integral，然後再將累次積分完成了一次尚剩一次的積分
跟閉合迴路積分的式比較，得到了最後的結論。
總結：講義上的方法，雖然是抄襲而來，沒有絲毫創新，卻據為己有，不過證明的方法並沒有錯。
12樓：紹澍鄢含蕊
為了保證格林公式得到的二重積分存在，就讓被積函式連續，所以偏導數要連續內。容
（定積分可積有個結論，有無窮間斷點的函式不可積。）
如果出現偏導不連續的點，很多時候都是無窮間斷的情形，這時候二重積分化成的二次積分是不存在的。可考慮反常二重積分，那解起來就麻煩了。
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