已知原函式的微分方程,怎麼求原函式

時間 2021-08-14 05:14:58

1樓:

目前最高難度的我只接觸到二階常係數非齊次線性方程。更難的需要工科兄弟們補充了,文科甚至理科已經無能為力。

首先是1階微分方程。這是最簡單的形式。

1階微分方程分為3種型別:

型別一:可分離變數的微分方程,它的形式如下:

dx/x=dy/y

總之是可以把x和y分開並且x與ds放到一邊,y與dy放到等號另一邊。

這種微分方程是可以直接積分求解的,

∫dx/x = ∫dy/y => ln|x| = ln|y| + lnc

c是任意常數。永遠要知道的是,微分方程有多少階,就有多少個任意常數。一階微分方程只有一個任意常數c。

型別二:齊次微分方程

這樣的微分方程的特點是(x^2+y^2)dx=(xy)dy括號內的項次數都相同。這個式子裡括號內的次數都是2次。它是可以轉化為第一種型別來求解的。

轉化的方法是設u=y/x,把原式的未知項都變成y/x的形式:(x/y + y/x)=dy/dx,然後代入u=y/x(注意:y=ux, 因此dy/dx=xdu/dx + u。

這個也要代入),然後按照可分離變數型別的齊次方程求解。

型別三:一階線性方程

一階線性方程的特點是形式為y'+p(x)y=q(x),其中p(x)和q(x)都是x的函式。它主要是公式法求解。公式為y=[exp-∫p(x)dx]

二階微分方程就更復雜了,3種形式的通解,3種形式的特解,特解裡面還要考慮3種不同形式的未知項,所以在此不闡述。

2樓:匿名使用者

用不定積分

如原函式的微分方程為y’=2x+3,\

則原函式為:y=x^2+3x+c(c為常數).

3樓:鬱放昂雙文

目前高難度我接觸

二階係數非齊線性程

更難需要工科兄弟

補充文科甚至理科已經能力

首先1階微程簡單

形式1階微

程3種型別:型別:

離變數微程形式

:dx/x=dy/y總x

y並且x與ds放

邊y與dy放

等號另邊種微程

直接積求解

∫dx/x

=∫dy/y

=>ln|x|

=ln|y|

+lncc任意

數永遠要知道微程

少階少任意數

階微程任意數c

型別二:齊微程

微程特點(x^2+y^2)dx=(xy)dy括號內項數都相同

式括號內數都2

轉化第種型別求解

轉化設u=y/x

原式未知項都變

y/x形式:(x/y

+y/x)=dy/dx

代入u=y/x(注意:y=ux,

dy/dx=xdu/dx+u

要代入)

按照離變數型別

齊程求解

型別三:

階線性程

階線性程

特點形式

y'+p(x)y=q(x)

其p(x)

q(x)都x函式

主要公式

求解公式

y=[exp-∫p(x)dx]

二階微程

更復雜3種形式

通解3種形式

特解特解

面要考慮3種

同形式未知項所闡述

4樓:匿名使用者

你的問題太籠統,建議去看微分方程方面的資料。

5樓:匿名使用者

解這個微分方程,你的問題太籠統,建議去看微分方程方面的資料。

數學微分方程都是求原函式?

6樓:匿名使用者

是求微分方程的通解或特解(都是原函式).

7樓:過幾日的

準確來說,高數中的求解微分方程,求的是通解!而不是特解。(這就允許丟掉部分解)注意我說的是通解,而不是全解!

高數:哪位大神能告訴我這個微分方程的原函式是怎麼求出來的嗎?

8樓:傷口只會讓人更強大

可以用微分方程的方法,個人覺得這道題這種方法可能比較好理解3f^2(x)=f’(x)

3f^2(x)=df(x)/dx

3dx=df(x)/f^2(x)

然後對兩邊積分得到

3x+c1=-1/f(x)+c2

f(x)=-1/(3x+c),其中c=c1-c2

全微分方程如何求原函式 20

9樓:和與忍

這類微分方程都具有dz=p(x,y)dx+q(x,y)dy的形式,且滿足p關於y的偏導數等於q關於x的偏導數的特點。解答過程如下:

先由p關於y的偏導數等於q關於x的偏導數,得出dz=p(x,y)dx+q(x,y)dy是一個全微分方程的結論。接著得出通解是z=從(0,0)到(x,y)第二型曲線積分p(x,y)dx+q(x,y)dy。

接下來,根據該積分與積分路徑無關(因為p關於y的偏導數等於q關於x的偏導數),可以選擇從點(0,0)到點(x,y)的特殊路徑積分,而最常選取的是沿折線路徑積分,即先從(0,0)到(0,y)、再從(0,y)到(x,y)的折線或者是先從(0,0)到(x,0)、再從(x,0)到(x,y)的折線。最後z=積分結果 就是通解。

例如:閣下這個題,假如選擇(0,0)到(x,0)、再從(x,0)到(x,y)的折線積分,則通解是z=(0,0)到(x,0)積分p(x,y)dx+q(x,y)dy + (x,0)到(x,y)積分p(x,y)dx+q(x,y)dy。

在第一個積分裡,y(=0)是常數,所以dy=0,結果成為定積分(從0到x)(x^2 +2x*0-0^2)dx=1/3 * x^3 +c1.

在第二個積分裡,x一直沒變是常數,所以dx=0,結果成為定積分(從0到y)(x^2 -2xy -y^2)dy=x^2 * y -x*y^2-1/3 * y^3 +c2.

於是,通解是z=1/3 * x^3 +x^2 * y -x*y^2-1/3 * y^3 +c.

10樓:竹珺宜慶

目前最高難度的我只接觸到二階常係數非齊次線性方程。更難的需要工科兄弟們補充了,文科甚至理科已經無能為力。

首先是1階微分方程。這是最簡單的形式。

1階微分方程分為3種型別:

型別一:可分離變數的微分方程,它的形式如下:

dx/x=dy/y

總之是可以把x和y分開並且x與ds放到一邊,y與dy放到等號另一邊。

這種微分方程是可以直接積分求解的,

∫dx/x

=∫dy/y

=>ln|x|

=ln|y|

+lnc

c是任意常數。永遠要知道的是,微分方程有多少階,就有多少個任意常數。一階微分方程只有一個任意常數c。

型別二:齊次微分方程

這樣的微分方程的特點是(x^2+y^2)dx=(xy)dy括號內的項次數都相同。這個式子裡括號內的次數都是2次。它是可以轉化為第一種型別來求解的。

轉化的方法是設u=y/x,把原式的未知項都變成y/x的形式:(x/y

+y/x)=dy/dx,然後代入u=y/x(注意:y=ux,

因此dy/dx=xdu/dx

+u。這個也要代入),然後按照可分離變數型別的齊次方程求解。

型別三:一階線性方程

一階線性方程的特點是形式為y'+p(x)y=q(x),其中p(x)和q(x)都是x的函式。它主要是公式法求解。公式為y=[exp-∫p(x)dx]

二階微分方程就更復雜了,3種形式的通解,3種形式的特解,特解裡面還要考慮3種不同形式的未知項,所以在此不闡述。

11樓:陽浩曠諾禎

這裡涉及的知識比較多,主要思想是這樣的:

1.pdx+qdy如果恰好是某個二元函式的全微分的話,方程的通解就能求出了(此時該方程稱為全微分方程),比如,設

pdx+qdy=du(x,y)

那麼方程

pdx+qdy=0的通解便為:u(x,y)=c

2.但pdx+qdy不一定恰好是某個函式的全微分,判斷依據是:dp/dy=dq/dx,

即:此式成立(當然在某個區域內),存在u(x,y),如果此式不成立,則不存在u(x,y)

3.在不存在u(x,y)的情況下,可能可以通過乘以某個函式或式子,使得方程成為全微分方程,比如方程:xdy-ydx=0,通過判斷知道它不是全微分方程,但如果乘以1/x^2,方程變形為:

dy/x-(y/x^2)dx=0

通過驗證可知它是全微分方程,並且

dy/x-(y/x^2)dx=d(y/x)

4.象上例這樣,乘上的函式1/x^2便稱為是積分因子了,一般來說,如果微分方程通過乘以某個函式變成了全微分方程,則稱此函式稱為該方程的積分因子。

5.若pdx+qdy=du(x,y),則有du/dx=p,du/dy=q

因此dp/dy=d^2u/(dxdy)=d^2u/(dydx)=dq/dx

反之亦然,這就是判斷是否為全微分方程的依據。

12樓:小肥仔

計算過程如下:

dx/x=dy/y

總之是可以把x和y分開並且x與ds放到一邊,y與dy放到等號另一邊。

這種微分方程是可以直接積分求解的,

∫dx/x = ∫dy/y => ln|x| = ln|y| + lnc,

c是任意常數。永遠要知道的是,微分方程有多少階,就有多少個任意常數。一階微分方程只有一個任意常數c。

13樓:愛生活_愛聯盟

你這不是全微分方程,這是根據全微分求原函式啊!

怎樣根據一階可求微分方程,和一個解,求出原函式?下圖是怎麼求出u的函式的呢?

14樓:匿名使用者

u'-u/x=-x

這是一個一階非齊次線性微分方程

它對應的齊次線性微分方程為

u'-u/x=0

du/dx=u/x

分離變數得

du/u=dx/x

兩邊積分得

lnu=lnx+c1

u=cx

設非齊次方程的解為

u=c(x)x

那麼c'(x)x+c(x)-c(x)x/x=-x即c'(x)=-1

c(x)=-x+c

原方程的通解為u=(c-x)x=cx-x²將u|x=3=0代入

解得c=3

所以u=3x-x²

已知導數函式和原函式關係式怎麼解得原函式表示式

15樓:飛艇上的羊

都是典型的微分方程形式.

1.典型的齊次方程,令y=f(x),那麼有y'=3y²,這種方程的特點是對稱,可通過恆等變形的形式,將x和y分離.

我們有:dy/dx=3y²,於是dy/3y²=dx,兩邊同時積分

∫dy/3y²=∫dx

那麼x=-1/3y,變形得:y=f(x)=-1/(3x+c)

2.這是一個一階線性微分方程,且係數為常係數.這種方程的通式為:

dy/dx+p(x)y=q(x),其中p(x),q(x)是有關x的方程,下面說說這種方程的解法.

(1)假設q(x)=0,那麼有dy/dx=-p(x)

這個方程的形式就是上面所說的齊次方程,可以解得:

ln|y|=-∫p(x)dx+c1

於是:y=cexp,其中c=±e^c1,exp{}表示e的{}次冪

(2)由前面的分析,y=cexp,我們將常數c換成一個關於x的函式u(x),並令u=u(x)

那麼y=uexp,此時dy/dx=u'exp-up(x)exp

對於dy/dx+p(x)y=q(x),有:

u'exp-up(x)exp+p(x)uexp=q(x)

即:u'exp=q(x),u'=q(x)exp,

兩邊積分:u=∫q(x)expdx+c

所以:y=exp[∫q(x)exp+c]=cexp+exp∫q(x)exp

上式即為答案.式中,前半部分為(1)的解,稱為通解;後半部分稱為特解.

對於本題,你可以直接代入結論來求,當然也有特殊的方法.因為通解是很容易求的,只要令q(x)=0,就是一個典型的齊次方程,分離變數後兩邊積分就可以了,但特解是很難求的.其實對於特解,是有一種簡便的方法可求的,即d=d/dx的形式,這些說起原理就長了..

求特解:

針對多項式的方程f(x)=ax^m+bx^(m-1)+...+cx+d

令d=d/dx,可知特解為y=*[ax^m+bx^(m-1)+...+cx+d]

例:求2y''-y'+3y=e^2x的特解.

令d=d/dx,於是y''=d²,y'=d,有:(2d²-d+3)y=e^2x

特解為y=[1/(2d²-d+3)]*e^2x

針對冪函式,我們直接令冪函式的指數為d,即令e^2x的指數2為d,可得特解y=1/9*e^2x

因此本題,特解求法:(d-1)y=e^x,y=1/(d-1)e^x.令d=1.(有這麼一個規定,若代入後,分母為0,那麼就對分母求導,且在分子上加一個x),那麼:

y=x/(-1)e^x=-xe^x

通解:y'=y,有dy/y=dx,有x=ln|y|,y=±e^x

方程的解為特解與通解之和,那麼y=-xe^x±e^x=e^x(x+c)

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