1樓：
目前最高難度的我只接觸到二階常係數非齊次線性方程。更難的需要工科兄弟們補充了，文科甚至理科已經無能為力。
首先是1階微分方程。這是最簡單的形式。
1階微分方程分為3種型別：
型別一：可分離變數的微分方程，它的形式如下：
dx/x=dy/y
總之是可以把x和y分開並且x與ds放到一邊，y與dy放到等號另一邊。
這種微分方程是可以直接積分求解的，
∫dx/x = ∫dy/y => ln|x| = ln|y| + lnc
c是任意常數。永遠要知道的是，微分方程有多少階，就有多少個任意常數。一階微分方程只有一個任意常數c。
型別二：齊次微分方程
這樣的微分方程的特點是(x^2+y^2)dx=(xy)dy括號內的項次數都相同。這個式子裡括號內的次數都是2次。它是可以轉化為第一種型別來求解的。
轉化的方法是設u=y/x，把原式的未知項都變成y/x的形式：（x/y + y/x)=dy/dx，然後代入u=y/x（注意：y=ux, 因此dy/dx=xdu/dx + u。
這個也要代入），然後按照可分離變數型別的齊次方程求解。
型別三：一階線性方程
一階線性方程的特點是形式為y'+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)都是x的函式。它主要是公式法求解。公式為y=[exp-∫p(x)dx]
二階微分方程就更復雜了，3種形式的通解，3種形式的特解，特解裡面還要考慮3種不同形式的未知項，所以在此不闡述。
2樓：匿名使用者
用不定積分
如原函式的微分方程為y’＝2x＋3，＼
則原函式為：y＝x＾2＋3x＋c（c為常數）．
3樓：鬱放昂雙文
目前高難度我接觸
二階係數非齊線性程
更難需要工科兄弟
補充文科甚至理科已經能力
首先1階微程簡單
形式1階微
程3種型別：型別：
離變數微程形式
：dx/x=dy/y總x
y並且x與ds放
邊y與dy放
等號另邊種微程
直接積求解
∫dx/x
=∫dy/y
=>ln|x|
=ln|y|
+lncc任意
數永遠要知道微程
少階少任意數
階微程任意數c
型別二：齊微程
微程特點(x^2+y^2)dx=(xy)dy括號內項數都相同
式括號內數都2
轉化第種型別求解
轉化設u=y/x
原式未知項都變
y/x形式：（x/y
+y/x)=dy/dx
代入u=y/x（注意：y=ux,
dy/dx=xdu/dx+u
要代入）
按照離變數型別
齊程求解
型別三：
階線性程
階線性程
特點形式
y'+p(x)y=q(x)
其p(x)
q(x)都x函式
主要公式
求解公式
y=[exp-∫p(x)dx]
二階微程
更復雜3種形式
通解3種形式
特解特解
面要考慮3種
同形式未知項所闡述
4樓：匿名使用者
你的問題太籠統，建議去看微分方程方面的資料。
5樓：匿名使用者
解這個微分方程，你的問題太籠統，建議去看微分方程方面的資料。
數學微分方程都是求原函式？
6樓：匿名使用者
是求微分方程的通解或特解(都是原函式).
7樓：過幾日的
準確來說，高數中的求解微分方程，求的是通解！而不是特解。（這就允許丟掉部分解）注意我說的是通解，而不是全解！
高數：哪位大神能告訴我這個微分方程的原函式是怎麼求出來的嗎？
8樓：傷口只會讓人更強大
可以用微分方程的方法，個人覺得這道題這種方法可能比較好理解3f^2(x)=f’(x)
3f^2(x)=df(x)/dx
3dx=df(x)/f^2(x)
然後對兩邊積分得到
3x+c1=-1/f(x)+c2
f(x)=-1/(3x+c)，其中c=c1-c2
全微分方程如何求原函式 20
9樓：和與忍
這類微分方程都具有dz=p(x,y)dx+q(x,y)dy的形式，且滿足p關於y的偏導數等於q關於x的偏導數的特點。解答過程如下：
先由p關於y的偏導數等於q關於x的偏導數，得出dz=p(x,y)dx+q(x,y)dy是一個全微分方程的結論。接著得出通解是z=從（0,0）到（x，y）第二型曲線積分p(x,y)dx+q(x,y)dy。
接下來，根據該積分與積分路徑無關（因為p關於y的偏導數等於q關於x的偏導數），可以選擇從點（0,0）到點（x，y）的特殊路徑積分，而最常選取的是沿折線路徑積分，即先從（0,0）到（0，y）、再從（0，y）到（x，y）的折線或者是先從（0,0）到（x，0）、再從（x，0）到（x，y）的折線。最後z=積分結果 就是通解。
例如：閣下這個題，假如選擇（0,0）到（x，0）、再從（x，0）到（x，y）的折線積分，則通解是z=（0,0）到（x，0）積分p(x,y)dx+q(x,y)dy + （x，0）到（x，y）積分p(x,y)dx+q(x,y)dy。
在第一個積分裡，y（=0）是常數，所以dy=0，結果成為定積分（從0到x）（x^2 +2x*0-0^2）dx=1/3 * x^3 +c1.
在第二個積分裡，x一直沒變是常數，所以dx=0，結果成為定積分（從0到y）(x^2 -2xy -y^2)dy=x^2 * y -x*y^2-1/3 * y^3 +c2.
於是，通解是z=1/3 * x^3 +x^2 * y -x*y^2-1/3 * y^3 +c.
10樓：竹珺宜慶
目前最高難度的我只接觸到二階常係數非齊次線性方程。更難的需要工科兄弟們補充了，文科甚至理科已經無能為力。
首先是1階微分方程。這是最簡單的形式。
1階微分方程分為3種型別：
型別一：可分離變數的微分方程，它的形式如下：
dx/x=dy/y
總之是可以把x和y分開並且x與ds放到一邊，y與dy放到等號另一邊。
這種微分方程是可以直接積分求解的，
∫dx/x
=∫dy/y
=>ln|x|
=ln|y|
+lnc
c是任意常數。永遠要知道的是，微分方程有多少階，就有多少個任意常數。一階微分方程只有一個任意常數c。
型別二：齊次微分方程
這樣的微分方程的特點是(x^2+y^2)dx=(xy)dy括號內的項次數都相同。這個式子裡括號內的次數都是2次。它是可以轉化為第一種型別來求解的。
轉化的方法是設u=y/x，把原式的未知項都變成y/x的形式：（x/y
+y/x)=dy/dx，然後代入u=y/x（注意：y=ux,
因此dy/dx=xdu/dx
+u。這個也要代入），然後按照可分離變數型別的齊次方程求解。
型別三：一階線性方程
一階線性方程的特點是形式為y'+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)都是x的函式。它主要是公式法求解。公式為y=[exp-∫p(x)dx]
二階微分方程就更復雜了，3種形式的通解，3種形式的特解，特解裡面還要考慮3種不同形式的未知項，所以在此不闡述。
11樓：陽浩曠諾禎
這裡涉及的知識比較多，主要思想是這樣的：
1.pdx+qdy如果恰好是某個二元函式的全微分的話，方程的通解就能求出了（此時該方程稱為全微分方程），比如，設
pdx+qdy＝du(x,y)
那麼方程
pdx+qdy=0的通解便為：u(x,y)=c
2.但pdx+qdy不一定恰好是某個函式的全微分，判斷依據是：dp/dy=dq/dx，
即：此式成立（當然在某個區域內），存在u(x,y)，如果此式不成立，則不存在u(x,y)
3.在不存在u(x,y)的情況下，可能可以通過乘以某個函式或式子，使得方程成為全微分方程，比如方程：xdy-ydx=0，通過判斷知道它不是全微分方程，但如果乘以1/x^2,方程變形為：
dy/x-(y/x^2)dx=0
通過驗證可知它是全微分方程，並且
dy/x-(y/x^2)dx=d(y/x)
4.象上例這樣，乘上的函式1/x^2便稱為是積分因子了，一般來說，如果微分方程通過乘以某個函式變成了全微分方程，則稱此函式稱為該方程的積分因子。
5.若pdx+qdy＝du(x,y)，則有du/dx=p,du/dy=q
因此dp/dy=d^2u/(dxdy)=d^2u/(dydx)=dq/dx
反之亦然，這就是判斷是否為全微分方程的依據。
12樓：小肥仔
計算過程如下：
dx/x=dy/y
總之是可以把x和y分開並且x與ds放到一邊，y與dy放到等號另一邊。
這種微分方程是可以直接積分求解的，
∫dx/x = ∫dy/y => ln|x| = ln|y| + lnc，
c是任意常數。永遠要知道的是，微分方程有多少階，就有多少個任意常數。一階微分方程只有一個任意常數c。
13樓：愛生活_愛聯盟
你這不是全微分方程，這是根據全微分求原函式啊！
怎樣根據一階可求微分方程，和一個解，求出原函式？下圖是怎麼求出u的函式的呢？
14樓：匿名使用者
u'-u/x=-x
這是一個一階非齊次線性微分方程
它對應的齊次線性微分方程為
u'-u/x=0
du/dx=u/x
分離變數得
du/u=dx/x
兩邊積分得
lnu=lnx+c1
u=cx
設非齊次方程的解為
u=c(x)x
那麼c'(x)x+c(x)-c(x)x/x=-x即c'(x)=-1
c(x)=-x+c
原方程的通解為u=(c-x)x=cx-x²將u|x=3=0代入
解得c=3
所以u=3x-x²
已知導數函式和原函式關係式怎麼解得原函式表示式
15樓：飛艇上的羊
都是典型的微分方程形式.
1.典型的齊次方程,令y=f(x),那麼有y'=3y²,這種方程的特點是對稱,可通過恆等變形的形式,將x和y分離.
我們有:dy/dx=3y²,於是dy/3y²=dx,兩邊同時積分
∫dy/3y²=∫dx
那麼x=-1/3y,變形得:y=f(x)=-1/(3x+c)
2.這是一個一階線性微分方程,且係數為常係數.這種方程的通式為:
dy/dx+p(x)y=q(x),其中p(x),q(x)是有關x的方程,下面說說這種方程的解法.
(1)假設q(x)=0,那麼有dy/dx=-p(x)
這個方程的形式就是上面所說的齊次方程,可以解得:
ln|y|=-∫p(x)dx+c1
於是:y=cexp,其中c=±e^c1,exp{}表示e的{}次冪
(2)由前面的分析,y=cexp,我們將常數c換成一個關於x的函式u(x),並令u=u(x)
那麼y=uexp,此時dy/dx=u'exp-up(x)exp
對於dy/dx+p(x)y=q(x),有:
u'exp-up(x)exp+p(x)uexp=q(x)
即:u'exp=q(x),u'=q(x)exp,
兩邊積分:u=∫q(x)expdx+c
所以:y=exp[∫q(x)exp+c]=cexp+exp∫q(x)exp
上式即為答案.式中,前半部分為(1)的解,稱為通解;後半部分稱為特解.
對於本題,你可以直接代入結論來求,當然也有特殊的方法.因為通解是很容易求的,只要令q(x)=0,就是一個典型的齊次方程,分離變數後兩邊積分就可以了,但特解是很難求的.其實對於特解,是有一種簡便的方法可求的,即d=d/dx的形式,這些說起原理就長了..
求特解:
針對多項式的方程f(x)=ax^m+bx^(m-1)+...+cx+d
令d=d/dx,可知特解為y=*[ax^m+bx^(m-1)+...+cx+d]
例:求2y''-y'+3y=e^2x的特解.
令d=d/dx,於是y''=d²,y'=d,有:(2d²-d+3)y=e^2x
特解為y=[1/(2d²-d+3)]*e^2x
針對冪函式,我們直接令冪函式的指數為d,即令e^2x的指數2為d,可得特解y=1/9*e^2x
因此本題,特解求法:(d-1)y=e^x,y=1/(d-1)e^x.令d=1.(有這麼一個規定,若代入後,分母為0,那麼就對分母求導,且在分子上加一個x),那麼:
y=x/(-1)e^x=-xe^x
通解:y'=y,有dy/y=dx,有x=ln|y|,y=±e^x
方程的解為特解與通解之和,那麼y=-xe^x±e^x=e^x(x+c)
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