1樓：匿名使用者
一、填空題（每小題1分，共10分）
_________ 1
1．函式y＝arcsin√1－x2 ＋ —————— 的定義域為_______________。
_________
√1－ x2
2．函式y＝x＋ex 上點（ 0，1 ）處的切線方程是______________。
f（xo＋2h）－f（xo－3h）
3．設f（x）在xo可導且f'（xo）＝a，則lim ——————————————— ＝___。
h→o h
4．設曲線過（0，1），且其上任意點（x，y）的切線斜率為2x，則該曲線的方程是___。
x5．∫—————dx＝_____________。
1－x4
16．lim xsin———＝___________。
x→∞ x
7．設f（x，y）＝sin（xy），則fx（x，y）＝____________。
_______
r √r2－x2
8．累次積分∫ dx ∫ f（x2 ＋ y2 ）dy 化為極座標下的累次積分為_______。
0 0
d3y 3 d2y
9．微分方程——— ＋ ——（——— ）2 的階數為____________。
dx3 x dx2
∞ ∞
10．設級數 ∑ an發散，則級數 ∑ an _______________。 n=1 n=1000
二、單項選擇題（在每小題的四個備選答案中，選出一個正確的答案，將其碼寫在題乾的○內，1～10每小題1分，11～20每小題2分，共30分）
（一）每小題1分，共10分
11．設函式f（x）＝—— ，g（x）＝1－x，則f〔g（x）〕＝ ( )
x1 1 1
①1－ —— ②1＋ —— ③ ———— ④x
x x 1－ x
12．x→0 時，xsin——＋1 是 ( )
x①無窮大量 ②無窮小量 ③有界變數 ④無界變數
3．下列說法正確的是 ( )
①若f（ x ）在 x＝xo連續， 則f（ x ）在x＝xo可導
②若f（ x ）在 x＝xo不可導，則f（ x ）在x＝xo不連續
③若f（ x ）在 x＝xo不可微，則f（ x ）在x＝xo極限不存在
④若f（ x ）在 x＝xo不連續，則f（ x ）在x＝xo不可導
4．若在區間（a，b）內恆有f'（x）〈0，f"（x）〉0，則在（a，b）內曲線弧y＝f（x）為( )
①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧
5．設f'(x) ＝ g'(x)，則 ( )
① f(x)＋g(x) 為常數
② f(x)－g(x) 為常數
③ f(x)－g(x) ＝0
d d
④ ——∫f（x）dx ＝ ——∫g（x）dx
dx dx
16．∫ │x│dx ＝ ( )
-1① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3
7．方程2x＋3y＝1在空間表示的圖形是 ( )
①平行於xoy面的平面
②平行於oz軸的平面
③過oz軸的平面
④直線x
8．設f（x，y）＝x3 ＋ y3 ＋ x2 ytg—— ，則f（tx，ty）＝ ( )y1
①tf（x，y） ②t2f（x，y） ③t3f（x，y） ④ ——f（x，y）
t2an＋1 ∞
9．設an≥0，且lim ————— ＝p，則級數 ∑an ( )
n→∞ a n=1
①在p〉1時收斂，p〈1時發散
②在p≥1時收斂，p〈1時發散
③在p≤1時收斂，p〉1時發散
④在p〈1時收斂，p〉1時發散
10．方程 y'＋3xy＝6x2y 是 ( )
①一階線性非齊次微分方程
②齊次微分方程
③可分離變數的微分方程
④二階微分方程二）每小題2分，共20分
11．下列函式中為偶函式的是 ( )
①y＝ex ②y＝x3＋1 ③y＝x3cosx ④y＝ln│x│
12．設f（x）在（a，b）可導，a〈x1〈x2〈b，則至少有一點ζ∈（a，b）使 ( )
①f（b）－f（a）＝f'（ζ）（b－a）
②f（b）－f（a）＝f'（ζ）（x2－x1）
③f（x2）－f（x1）＝f'（ζ）（b－a）
④f（x2）－f（x1）＝f'（ζ）（x2－x1）
13．設f（x）在 x＝xo 的左右導數存在且相等是f（x）在 x＝xo 可導的 ( )
①充分必要的條件
②必要非充分的條件
③必要且充分的條件
④既非必要又非充分的條件
d14．設2f（x）cosx＝——〔f（x）〕2 ，則f（0）＝1，則f（x）＝ ( )
dx①cosx ②2－cosx ③1＋sinx ④1－sinx
15．過點（1，2）且切線斜率為 4x3 的曲線方程為y＝ ( )
①x4 ②x4＋c ③x4＋1 ④x4－1
1 x
16．lim ——— ∫ 3tgt2dt＝ ( )
x→0 x3 0
1① 0 ② 1 ③ —— ④ ∞3xy
17．lim xysin ————— ＝ ( )
x→0 x2＋y2
y→0① 0 ② 1 ③ ∞ ④ sin1
18．對微分方程 y"＝f（y，y'），降階的方法是 ( )
① 設y'＝p，則 y"＝p'
dp② 設y'＝p，則 y"＝ ———
dydp
③ 設y'＝p，則 y"＝p———
dy1 dp
④ 設y'＝p，則 y"＝—— ———
p dy
∞ ∞
19．設冪級數 ∑ anxn在xo（xo≠0）收斂， 則 ∑ anxn 在│x│〈│xo│ ( )
n=o n=o
①絕對收斂 ②條件收斂 ③發散 ④收斂性與an有關
sinx
20．設d域由y＝x，y＝x2所圍成，則∫∫ —————dσ＝ ( )
d x
1 1 sinx
① ∫ dx ∫ ————— dy
0 x x
__1 √y sinx
② ∫ dy ∫ —————dx
0 y x
__1 √x sinx
③ ∫ dx ∫ —————dy
0 x x
__1 √x sinx
④ ∫ dy ∫ —————dx
0 x x
三、計算題（每小題5分，共45分）
___________
／ x－1
1．設 y＝ ／ —————— 求 y' 。
√ x（x＋3）
sin（9x2－16）
2．求 lim ——————————— 。
x→4/3 3x－4
dx3．計算 ∫ ——————— 。
（1＋ex ）2
t 1 dy
4．設x＝ ∫（cosu）arctgudu，y＝∫（sinu）arctgudu，求———
0 t dx
5．求過點 a（2，1，－1），b（1，1，2）的直線方程。
___6．設 u＝ex＋√y ＋sinz，求 du 。
x asinθ
7．計算 ∫ ∫ rsinθdrdθ 。
0 0
y＋18．求微分方程 dy＝（ ———— ）2dx 通解 。
x＋13
9．將 f（x）＝ ————————— 展成的冪級數 。
（1－x）（2＋x）
四、應用和證明題（共15分）
1．（8分）設一質量為m的物體從高空自由落下，空氣阻力正比於速度（ 比例常數為k〉0 ）求速度與時間的關係。
___ 1
2．（7分）藉助於函式的單調性證明：當x〉1時，2√x 〉3－ —— 。附：高等數學（一）參***和評分標準
一、填空題（每小題1分，共10分）
1．（－1，1）
2．2x－y＋1＝0
3．5a
4．y＝x2＋1
15．——arctgx2＋c
26．1
7．ycos（xy）
π/2 π
8．∫ dθ ∫ f（r2）rdr
0 0
9．三階
10．發散
二、單項選擇題（在每小題的四個備選答案中，選出一個正確的答案，將其碼寫在題乾的○內，1～10每小題1分，11～20每小題2分，共30分）
（一）每小題1分，共10分
1．③ 2．③ 3．④ 4．④ 5．②
6．② 7．② 8．⑤ 9．④ 10．③
（二）每小題2分，共20分
11．④ 12．④ 13．⑤ 14．③ 15．③
16．② 17．① 18．③ 19．① 20．②三、計算題（每小題5分，共45分）
11．解：lny＝——〔ln（x－1）－lnx－ln（x＋3）〕 （2分）
21 1 1 1 1
——y'＝——（————－——－————） （2分）
y 2 x－1 x x＋3
__________
1 ／ x－1 1 1 1
y'＝—— ／——————（————－——－————） （1分）
2 √ x（x＋3） x－1 x x＋3
18xcos（9x2－16）
2．解：原式＝lim ———————————————— （3分）
x→4/3 3
18（4／3）cos〔9（4／3）2－16〕
＝ —————————————————————— ＝8 （2分）
31＋ex－ex
3．解：原式＝∫———————dx （2分）
（1＋ex）2
dx d（1＋ex）
＝∫—————－∫——————— （1分）
1＋ex （1＋ex）2
1＋ex－ex 1
＝∫———————dx ＋ ————— （1分）
1＋ex 1＋ex
1＝x－ln（1＋ex）＋ ————— ＋ c （1分）
1＋ex
4．解：因為dx＝（cost）arctgtdt，dy＝－（sint）arctgtdt（3分）
dy －（sint）arctgtdt
所以 ——— ＝ ———————————————— ＝ －tgt （2分）
dx （cost）arctgtdt
5．解：所求直線的方向數為｛1，0，－3｝ （3分）
x－1 y－1 z－2
所求直線方程為 ————＝————＝———— （2分）
1 0 －3
__ __
6．解：du＝ex +√y + sinzd（x＋√y ＋sinx） （3分）
__ dy
＝ex + √y + sinz〔（1＋cosx）dx＋ —————〕 （2分）
___2√y
π asinθ 1 π
7．解：原積分＝∫ sinθdθ ∫ rdr＝ ——a2 ∫ sin3θdθ （3分）
0 0 2 0
π/2 2
＝a2 ∫ sin3θdθ ＝ —— a2 （2分）
0 3
dy dx
8．解：兩邊同除以（y＋1）2 得 ——————＝—————— （2分）
（1＋y）2 （1＋x）2
dy dx
兩邊積分得 ∫——————＝∫—————— （1分）
（1＋y）2 （1＋x）2
1 1
亦即所求通解為 ———— － ———— ＝c （2分）
1＋x 1＋y
1 1
9．解：分解，得f（x）＝———— ＋ ———— （1分）
1－x 2＋x
1 1 1
＝———— ＋ —— ————— （1分）
1－x 2 x
1＋——
2∞ 1 ∞ xn x
＝∑ xn ＋ —— ∑ （－1）n—— （ │x│〈1且│——│〈1 ）（2分）
n=0 2 n=0 2n 2
∞ 1
＝∑ 〔1＋（－1）n ———〕xn （ │x│〈1） （2分）
n=0 2n+1四、應用和證明題（共15分）
du1．解：設速度為u，則u滿足m＝——＝mg－ku （3分）dt1
解方程得u＝——（mg－ce-kt/m） （3分）kmg
由u│t=0＝0定出c，得u＝——（1－e-kt/m） （2分）
k__ 1
2．證：令f（x）＝2√x ＋ —— － 3 則f（x）在區間〔1，＋∞〕連續 （2分）
x1 1
而且當x〉1時，f'（x）＝ —— － —— 〉0 （2分）
__ x2
√x因此f（x）在〔1，＋∞〕單調增加 （1分）
從而當x〉1時，f（x）〉f（1）＝0 （1分）
___ 1
即當x〉1時，2√x 〉3－ —— （1分）x
大學高數考試一般考什麼
親愛者 大學高數考試一般以下的要點 求極限 求導數 求函式極值，最大值版 函式權的微分，不定積分，定積分。大學高等數學是每位大學生都應該掌握的一門學科，不管是理科生還是文科生。因為數學是一門古老而又十分重要的自然學科。高等數學建立在初等數學基礎之上，結構嚴謹，對於學生的邏輯思維以及運算能力有較高的要...
大學高數極限問題，大學高數的極限問題
安克魯 lim sinx tanx sin x x 0 lim x sinx tanx x sin x x 0 lim sinx tanx x x 0 lim sinx 1 secx x x 0 lim 1 secx x x 0 lim cosx 1 x cosxx 0 lim cosx 1 x x...
高數題目急問
以上各位的解法都用到了f x 但是題目中並沒有給出f x 可導的假設 從題意上看，f x 也就是可積的，最多是連續的 因此解法不妥。應當這樣求解 f x 0 x f t dt xf x 0 x f t f x dt,因為 0 t x,且f x 單調減少，所以 f t f x 0 0 t x 從而 f...