二階非齊次微分方程通解的問題,二階線性齊次微分方程通解求法

時間 2021-08-11 17:54:44

1樓:匿名使用者

首先,y=ax^2+bx+c並不是這個微分方程的通解形式,而是非齊次項x^2對應的特解形式。

因為左式有y,而右式為x^2,所以特解y的最高階不會超過x^2,因而設特解為y=ax^2+bx+c

這道題用特徵值法求解, 特徵方程 y=r^2+1=0. 求得 r=±i,因此齊次方程的通解形式為 y=acosx+bsinx

設特解 y=ax^2+bx+c代入原式,2a+ax^2+bx+c=x^2, 求得 a=1, b=0, c=-2

故該方程的通解為 y=acosx+bsinx+x^2-2

2樓:

因為 齊次方程y''+y=0的特徵方程是r²+r=0,則r=±i (i是虛數)

所以 齊次方程y''+y=0的通解是y=c1sinx+c2cosx (c1,c2是積分常數)

因為 設原方程的一個解為y=ax²+bx+c代入原方程得2a+ax²+bx+c=x²

==>a=1,b=0,c=-1

所以 原方程的一個解是=x²-1

故原方程的通解是y=c1sinx+c2cosx+x²-1 (c1,c2是積分常數).

3樓:呀誒呀呀

標準形式

y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)

解法通解=非齊次方程特解+齊次方程通解

對二階常係數線性非齊次微分方程形式ay''+by'+cy=p(x)

的特解y*具有形式

y*=其中q(x)是與p(x)同次的多項式,k按α不是特徵根、是單特徵根或二重特徵根(上文有提),依次取0,1或2.

將y*代入方程,比較方程兩邊x的同次冪的係數(待定係數法),就可確定出q(x)的係數而得特解y*。

多項式法:

設常係數線性微分方程y''+py'+qy =pm

(x)e^(λx),其中p,q,λ是常數,pm(x)是x的m次多項式,令y=ze^(λz) ,則方程可化為:

f″(λ)/2!z″+f′(λ)/1!z′+f(λ)z=pm(x) ,這裡f(λ)=λ^2+pλ+q為方程對應齊次方程的特徵多項式。

升階法:

設y''+p(x)y'+q(x)y=f(x),當f(x)為多項式時,設f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an,此時,方程兩邊同時對x求導n次,得

y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an……

y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)!

y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n!

令y^n=a0n!/q(q≠0),此時,y^(n+2)=y^(n+1)=0。由y^(n+1)與y^n通過倒數第二個方程可得y^(n-1),依次升階,一直推到方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x),可得到方程的一個特解y(x)。

4樓:有綺波

y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)解法通解=非齊次方程特解+齊次方程通解

對二階常係數線性非齊次微分方程形式ay''+by'+cy=p(x)的特解y*具有形式y*=

5樓:迷路明燈

特徵根方程r²+1=0,

線性通解y=c1sinx+c2cosx,

特解y*=ax²+b

則2a+ax²+b=x²得a=1.b=-2通解就是y+y*=c1sinx+c2cosx+x²-2

6樓:獅子中國博物館

7(2x-1)-3(4x-1)=4(3x 2)-1; (5y 1) (1-y)= (9y 1) (1-3y); 20% (1-20%)(320-x)=320×40% 2(x-2) 2=x 1 2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x) x/3 -5 = (5-x)/2 2(x 1) /3=5(x 1) /6 -1 (1/5)x 1 =(2x 1)/4 (5-2)/2 - (4 x)/3 =1 x/3 -1 = (1-x)/2 (x-2)/2 - (3x-2)/4 =-1 11x 64-2x=100-9x 15-(8-5x)=7x (4-3x) 3(x-7)-2[9-4(2-x)]=22 3/2[2/3(1/4x-1)-2]-x=2 2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x) 11x 64-2x=100-9x 15-(8-5x)=7x (4-3x) 3(x-7)-2[9-4(2-x)]=22 3/2[2/3(1/4x-1)-2]-x=2 2(x-2) 2=x 1 7(2x-1)-3(4x-1)=4(3x 2)-1(5y 1) (1-y)= (9y 1) (1-3y)[ (- 2)-4 ]=x 220% (1-20%)(320-x)=320×40%2(x-2) 2=x 1 6。

2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x) 7。11x 64-2x=100-9x 15-(8-5x)=7x (4-3x) 3(x-7)-2[9-4(2-x)]=22 3/2[2/3(1/4x-1)-2]-x=25x 1-2x=3x-23y-4=2y 187x*13=57z/93=41 15x 863-65x=54 58y*55=274892(x 2) 4=92(x 4)=103(x-5)=184x 8=2(x-1)3(x 3)=9 x6(x/2 1)=129(x 6)=632 x=2(x-1/2)8x 3(1-x)=-27 x-2(x-1)=1x/3 -5 = (5-x)/2 2(x 1) /3=5(x 1) /6 -1 (1/5)x 1 =(2x 1)/4 (5-2)/2 - (4 x)/3 =1 15x-8(5x 1。

二階線性齊次微分方程通解求法 5

7樓:墨汁諾

一、解:

求特徵方程r^2+p(x)r+q(x)=0,解出兩個特徵根r1,r2 若r1≠r2且r1,r2為實數,

則y=c1*e^(r1*x)+c2*e^(r2*x) 若r1=r2且r1,r2。

二、r是微分方程的特徵值,它是通過方程r^2-2r+5=0來求出的。

將其看成一元二次方程,判別式=4-20=-16<0,說明方程沒有實數根,但在複數範圍內有根,根為: r1=1+2i r2=1-2i;

在複數領域中,z1=a+bi 和z2=a-bi, 及兩個複數的實數部分相等,虛數部分互為相反數的複數稱為共軛複數;所以本題的兩個特徵值符合這一關係,故謂共軛復根。

擴充套件資料:

對於二階線性遞推數列,可採用特徵方程法:

對於數列

,遞推公式為

其特徵方程為

1、 若方程有兩相異根p、q ,則

2、 若方程有兩等根p ,則

8樓:情感迷茫者的解讀人

以下方法,可以參考一下

1.解: 求特徵方程r^2+p(x)r+q(x)=0,解出兩個特徵根r1,r2 若r1≠r2且r1,r2為實數, 則y=c1*e^(r1*x)+c2*e^(r2*x) 若r1=r2且r1,r2。

2.r是微分方程的特徵值,它是通過方程r^2-2r+5=0來求出的。 將其看成一元二次方程,判別式=4-20=-16<0,說明方程沒有實數根,但在複數範圍內有根,根為:

r1=1+2i r2=1-2i

只是希望能有所幫助

9樓:匿名使用者

你可以按照這個去做就可以了。如果你想具體的瞭解這些是怎麼來的,你可能要去看書本上的知識。

已知某二階線性非齊次微分方程的解,求此微分方程

光信建昭 y1 xe x,y2 xe x e x,y3 xe x e 2x e x 那麼y2 y1 e x,y3 y2 e 2x是二階線性齊次微分方程的兩個解 故二階線性齊次微分方程的特解c1e x c2e 2x,1,2是特徵根,二階線性齊次微分方程為 y y 2y 0 設y y 2y f x y1...

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帖菲支琬 性非齊次微分方程的通解 對應齊次微分方程的通解 特解求解過程大致分以下兩步進行 1 求對應齊次微分方程y y 0.1 的通解,方程 1 的特徵方程為r 2 1 0,則r 1,1 從而方程 1 的通解就是y ce x de x c d為待求量,這裡還需用到兩個邊界條件,不知有沒有,就是f 0...

求齊次型微分方程的通解,齊次微分方程求通解這個是怎麼求的

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