1樓：匿名使用者
談到，周長固定圍成面積的問題，許多人會想到正方形和二次函式。好吧，就從矩形開始吧！問題是這樣的，說有一根長度固定為l的繩子，現在要圍成一個矩形，問：什麼樣的矩形面積才是最大的？
首先，我們要建立數學模型！那麼什麼是矩形呢？它有些什麼性質呢？
初等幾何說：有一個角位直角（90°或者π/2）的平行四邊形，叫做矩形。那麼什麼是平行四邊形呢？
它有些什麼性質呢？幾何又說：兩組對邊分別平行的四邊形，叫做平行四邊形。
其中，平行四邊形有一條重要的性質：平行四邊形的對邊相等。
好了，現在我們對矩形也有一個印象了。簡單來說是一個，四條互相垂直的線段組成的東西。而且我們知道它的面積公式：
s=a*b，由平行四邊形的性質：平行四邊形的對邊相等。可知它的周長公式：
l=2*(a + b)。
有了這些，就可以建模分析了：首先，我們分析l=2*(a + b)，經過簡單的變形處理（+、-、*、/）有：b=l/2-a 要注意條件，a是不為0的，即（a>0）。
現在，把b=l/2-a 代入s=a*b就有：s=a*( l/2-a)= -a^2+ (l/2) *a （a>0）；這是關於a的一個二次函式，並且a=-1<0，函式s有最大值。
微積分的解法：因為：s= -a^2+ (l/2) *a （a>0），所以s`=-2a+l/2 （a>0）令s`=0有：2a= l/2 所以a= l/4。
所以smax = l/4(l/2- l/4)= l^2/16 max：最大值 b=a= l/4 (此時，矩形為正方形)
也可以用不等式：因為 (a - b)^2≥0，又因(a - b)^2=(a + b)^2-4ab，所以有：(a + b)^2-4ab≥0 即a*b≤(a + b)^2/4 當a=b，去「=」，s有最大值
因為： a + b= l/2，s=a*b 所以：s≤（l/2）^2/4= l^2/16 。
∴正方形的面積大！
再送你一份禮物，周長一樣的三角形哪種三角形面積大
現在，來談一談周長固定三角形面積的問題，說有一根長度固定為l的繩子，現在要圍成一個三角形，問：什麼樣的三角形面積才是最大的？ 好像，一般三角形的性質並不多，一個三邊關係定理：
三角形兩邊之和大於第三邊。和一個內角和定理：三角形三個內角的和等於180°。
還有個推論：三角形兩邊之差小於第三邊。 不妨設繩子l，圍成的三角形一邊為x，則另外兩邊之和為l-x 。
根據三邊關係定理有：x2c。可以，以2c=x的中點建立座標系，則：
a^2= (l-x/2)^2 ，b^2= (l-x/2)^2-(x/2)^2=l(l-2x)/ 。
所以橢圓方程為：x^2/(l-x/2)^2 +y^2/ l(l+2x)/4=1 函式影象的直觀反映
，三角形的面積為：s=(1/2)*( 2c)*y ，因為，x=2c是固定的，所以s取決於y，當y取max時，即y=b時，s有最大值。 即：
s=s(x)max （且此時，該三角形為等要三角形） =c*[(l^2-2lx)/4]^1/2 =(1/4)*x(l^2-2lx)^1/2 (0 lx/(l^2-2lx)^1/2 =(l^2-2lx)^1/2 ，則lx= l^2-2lx 解之得：x=l/3，且有，x=l/3 smax=max[s(x)max]=(3^1/2)*l^2/36，此模型的思想有點類似變分法，函式的函式（泛函），但還是有本質的差別。 也可以用海**式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2，其中p=(a+b+c)/2 。用不等式來解決！ 或者用二元函式的偏導及拉格朗日乘法，來解解決也行。 不要以為，海**式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2 比微積分簡單一些，前提是你必須知道這個公式，而且能夠證明！我就給大家一個證明，這是我在分解因式中，遇到較麻煩的一次！ 要證明海**式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2，首先，要知道餘弦定理： 勾股定理的擴充套件——餘弦定理 a^2=b^2+c^2-2bccosa， 則有：cosa=（ b^2+c^2- a^2）/2bc 所以，sina=^1/2 =^1/2 又因為，三角形面積公式： s=(1/2)*bcsina =(1/2)*bc*^1/2 =(1/4)* [( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)] ^1/2 (與角度a並無直接關係) 又 ∵ [( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4) =2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2- a^4-b^4-c^4 =b^2c^2+a^2c^2-b^4-a^4+2a^b^2+ a^2c^2+ b^2c^2- c^4 = b^2c^2-2abc^2+a^2c^2-(b^4+a^4-2a^b^2)+ a^2c^2+ b^2c^2+2abc^2- c^4 (配方) =c^2(b^2-2ab+a^2)-(b^2-a^2)+ c^2(b^2+2ab+a^2)-c^4 = c^2(b-a)^2-[(b+a)(b-a)]^2+ c^2(b+a)^2-c^4 = c^2(b-a)^2-c^4-(b+a)^2(b-a)^2+ c^2(b+a)^2 （分解因式） = c^2[(b-a)^2-c^2]-(b+a)^2[(b-a)^2-c^2] = [(b-a)^2-c^2]*[c^2-(b+a)^2] （提公因式） =-[(b-a)^2-c^2]*[(b+a)^2-c^2] =[(b+a)^2-c^2]*(-1)* [(b-a)^2-c^2] =[(b+a)^2-c^2]*(-1)(b-a+c)*(b-a-c) =[(b+a)^2-c^2]*(b-a+c)*(a+c-b) =(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) ∴ s=(1/4)[ (a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)]^1/2 =[(a+b+c)/2 *(a+b-c)/2 * (b+c-a)/2* (a+c-b)/2]^1/2 =^1/2 在令： p=(a+b+c)/2 就得到海**式：s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2 有了此公式，在利用不等式，問題就可以解決了。 需要知道的一個不等式：(a+b+c)^3 /27≥abc (a，b，c均為正數，當a=b=c時，取「=」) ∵ (p-a)*(p-b)*(p-c)≤[3p-(a+b+c)]^3 /27，又∵2p=a+b+c； ∴ (p-a)*(p-b)*(p-c)≤p3 /27 則有：[(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2≤p(p)^1/2 /3(3)^1/2 所以：p^1/2[(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2≤p2 /3(3)^1/2 即：s≤(3^1/2 /36) p2，當p-a=p-b=p-c,即，a=b=c時，取「=」s有最大值(3^1/2 /36) l^2 （2006全國卷l理科第11題）用長度分別為2、3、4、5、6（單位：㎝）的5根細棒圍成一個三角形（允許連線，但不許折斷），能夠得到的三角形的最大面積是…… （ b ） a 8*5^1/2 b 6*10^1/2 c 3*55^1/2 d 20 分析：首先，這幾個整數成等差數列，公差為1，它們的和為20。現在，要把這5個數任意的分成3組，然後圍成三角形，最後找出這些三角形中面積最大的一個。 如果，真的去分組，在統計比較，時間上顯然不夠！這個時候就需要你會建立，數學模型了，並且能夠轉化數學。把離散組合，轉化為連續的數學。 數學家在研究問題時，往往關注一些變中不變的東西，那往往是大規律、大道理，不以人的意志為之轉移，帶有根本性的。把這5個數任意的分成3組，然後圍成三角形。無論怎麼變化，有一條是不變的： 它們的和為20；於是要解決的問題就是：當三角形周長固定時：什麼樣的三角形面積才是最大的？ 上面研究過，正三角形的面積最大，並且由 s=s(x)max （且此時，該三角形為等腰三角形） =(1/4)*x(l^2-2lx)^1/2 (0 20/3≈6.6667，顯然這裡的5個數是組合不成6.6667的，只能退而求其次了，我們發現（猜出來的）： （2+5）、（3+4）、6的組合是最接近正三角形的，所以它的面積最大。經過簡單的計算，就知道結果了：b 6*10^1/2 我們在來做一件事，比較一下週長固定的面積最大的矩形與三角形的面積： l^2/16與(3^1/2 /36) l2。為了方便比較，把它們換為小數：0. 0625l^2與0.048112522l^2 我們發現四邊形（正方形）的面積要大一些！根據這中經驗，是否可以數學歸納，提出猜想1： 在平面內曲線周長固定時，圓的面積最大！猜想2：在平面內曲線周長固定時，圍成的n邊形中，正n邊形的面積最大！ 事實上，第一個猜想是正確的，不過需要變分法來處理。同樣需要微積分來研究，不過是高等微積分了。 2樓： 正方形，這種周長一定的問題越是接近園面積越大。 3樓：匿名使用者 正方形面積大。 假設周長為a，正方形邊長為a/4；長方形長為x，寬=a/2-x； 正方形的面積：(a/4)*(a/4)=a*a/16長方形的面積：x*(a/2-x)=a*x/2-x*x因為a*x/2-x*x-a*a/16=-(x*x-a*x/2+a*a/16) =-(x-a/4)*(x-a/4)小於等於0所以正方形的面積大於長方形 4樓：天綺蘭羊壁 設長方形的長寬是a，b。正方形邊長是c. 那麼2(a+b)=4c, a+b=2c 長方形面積=ab 正方形面積=c^2 均值不等式：√ab ≤(a+b)/2=2c/2=c ab≤c^2，當a=b時等號成立，此時也是正方形。 所以正方形面積大。 義明智 長方形面積 8x4 32釐米 設正方形邊長x 4x 2 8 4 4x 24 x 6正方形面積 6x6 36平方釐米 大 36 32 4平方釐米 六嗲 8x4 6 32 36 32 4正方形面積比長方形面積大4方釐米 肖瑤如意 解 設正方形邊長x釐米 4x 8 4 2 x 6正方形面積比長方形... 長方形的面積最小。以正方形為基準，邊長為a，則周長為4a，面積為a 2。如果是長方形，邊長為a x和a x，其中x是比a小的正數，周長也是4a，面積為a 2 x 2，比正方形的面積小。如果是圓形，則周長為4a，半徑為4a 2pi 2a pi，面積為pi 2a pi 2 a 2 4 pi a 2，比正... 您好，寒櫻暖暖為你解答 長方形的面積 26 14 364平方米 正方形的邊長 26 14 2 4 20米 正方形的面積 20 20 400平方米 如果你認可我的回答，請及時點選 採納為滿意回答 按鈕，或在客戶端右上角評價點 滿意 你的採納，是我前進的動力 你的採納也會給你帶去財富值的。如有不明白，可...長方形和正方形的周長相等。已知長方形長8釐米，寬4釐米。正方形面積比長方形面積大多少平方釐米
周長相等的長方形，正方形和圓，哪個面積最小
正方形和長方形的周長相等，長方形的長是26米，寬是14米，則它的面積各是多少平方米