1樓：電燈劍客
結論根本就是錯的。只有1階反對稱陣肯定是冪零陣。
反對稱矩陣的特徵值都是0或者純虛數，只要有一個非零特徵值及不會是冪零陣。
舉個2階的反例
0 1-1 0
高階的在後面繼續補零。
2樓：匿名使用者
用定義證明好了。證明乘積的每一個元素都是0。
3樓：禚倚實雲夢
a是對稱矩陣,
則a^t=a，
所以(a^n)^t
=(a^t)^n
=a^n，
故a^n仍是對稱矩陣。
如何證明a是反對稱矩陣的充要條件是：a的二次型為零。
4樓：是你找到了我
充分性：因為a的二次型為零，即 x^tax = 0，所以 x^ta^tx = 0；x^t(a+a^t)x = 0；又因為a+a^t 也是對稱矩陣，所以a+a^t=0，即 a^t = -a，所以：a 為反對稱矩陣。
必要性：顯然成立。
設a為n維方陣，若有a'=-a，則稱矩陣a為反對稱矩陣。對於反對稱矩陣，主對角線上的元素全為零，而位於主對角線兩側對稱的元反號。反對稱矩陣具有很多良好的性質，如若a為反對稱矩陣，則a'，λa均為反對稱矩陣；若a、b均為反對稱矩陣，則a±b也為反對稱矩陣；
設a為反對稱矩陣，b為對稱矩陣，則ab-ba為對稱矩陣；奇數階反對稱矩陣的行列式必為0。反對稱矩陣的特徵值是0或純虛數，並且對應於純虛數的特徵向量的實部和虛部形成的實向量等長且互相正交。
5樓：匿名使用者
必要性顯然.
充分性:
因為 x^tax = 0
所以 x^ta^tx = 0
所以 x^t(a+a^t)x = 0
由於 a+a^t 是對稱矩陣
故 a+a^t=0
即 a^t = -a
即 a 為反對稱矩陣.
6樓：茹翊神諭者
簡單計算一下即可，詳情如圖所示
7樓：沉思的阿蘭貝爾
樓上證明充分性很搞笑啊！你說a實對稱矩陣然後說a等於o但是證明實對稱矩陣的時候，用到啦，二次型等於0，其矩陣為反對稱矩陣這個結論啊！就好比你證明a是好人，用到啦b是好人這個結論為條件，但是b是好人這個結論是由a是好人這個結論為條件證明的！
傳說中的先有蛋還是先有雞的問題！
實反對稱矩陣的特徵值全為零，那麼這個矩陣為零矩陣嗎，如果是可否給出證明
8樓：匿名使用者
你的前提說法不正確，實反對稱陣有特徵值並不一定全為0。
下面就是一個二階實反對稱陣，它沒有實數特徵值。
0 1-1 0
9樓：匿名使用者
一定是零矩陣。實反對稱矩陣是正規矩陣，對於正規矩陣來說，若它的特徵值全為零，那麼它就是零矩陣。證明很簡單：
正規矩陣a可進行特徵值分解a=utu^h，其中u是酋矩陣，t是對角矩陣，t的主對角線上元素是a的特徵值，若a只有零特徵值，則t=o，從而a=o。
如何證明a是反對稱矩陣的充要條件是：a的二次型為零？
10樓：匿名使用者
解法一：
1、試證：可逆實對稱矩陣a與a逆是合同矩陣.
2、證明：一個實二次型可以分解成兩個實係數一次齊次多項式乘積的充分必要條件是它的秩等於2,而且符號差為零；或者秩等於1.
3、設a為n階實對稱矩陣,且滿足a三次方 -2a平方 +4a-3e=0.證明a為正定矩陣.
4、設a為正定矩陣,e為n階單位陣,證明：a+e的行列式大於1.
解法二：
證: a是n階實對稱矩陣, 則存在正交矩陣p, p'=p^-1
滿足: p'ap = diag(a1,a2,...,an). 其中a1,a2,...,an是a的全部特徵值
則a對應的二次型為:
f = x'ax
令 x=py 得
f = y'p' apy = y'diag(a1,a2,...,an)y = a1y1^2+...+any^n
所以 a正定 f 正定 ai>0.
即 a是正定矩陣的充分必要條件是a的特徵值都大於0.
反對稱矩陣：
反對稱矩陣具有很多良好的性質，如若a為反對稱矩陣，則a'，λa均為反對稱矩陣；若a,b均為反對稱矩陣，則a±b也為反對稱矩陣；設a為反對稱矩陣，b為對稱矩陣，則ab-ba為對稱矩陣；奇數階反對稱矩陣的行列式必為0。
證明:冪零矩陣(某個方冪等於零的矩陣)的特徵值全為零
11樓：假面
具體回答如圖：
對於n階方陣n，存在正整數k，使得n^k=0，這樣的方陣n就叫做冪零矩陣。滿足條件的最小的正整數k被稱為n的度數或指數。更一般來說，零權變換是向量空間的線性變換l，使得對於一些正整數k（並且因此，對於所有j≥k，lj = 0），l^k= 0。
12樓：匿名使用者
你好！可以用特徵值性質如圖證明。經濟數學團隊幫你解答，請及時採納。謝謝！
對稱矩陣與反對稱矩陣證明問題
13樓：匿名使用者
標量矩陣是什麼？這道題我看過的。
14樓：百聆生
你慢慢等吧，線代是個很痛苦的東西……
證明對稱矩陣和反對稱矩陣乘積的跡為零
15樓：匿名使用者
你好！利用跡的性質可以如圖證明對稱陣與反對稱陣乘積的跡為0。經濟數學團隊幫你解答，請及時採納。謝謝！
什麼是對稱冪等矩陣，什麼是投影矩陣
在香山寺遠眺的風鈴草 冪等矩陣為若a為方陣，且a 2 a，則a稱為冪等矩陣。冪等矩陣的2個主要性質 1 其特徵值只可能是0，1。2 可對角化。如果要加個對稱的條件，那麼就滿足a t a這兩個條件可以檢驗是否為對角的冪等矩陣矩陣。擴充套件資料等價命題1 若a是冪等矩陣，則與a相似的任意矩陣是冪等矩陣 ...
證明 n級實對稱矩陣A是正定的充分必要條件為有逆實對稱矩陣c使得a c方
若a是正定的，那麼存在k1,k2,kn 0與正交陣q，使得a qt diag k1,k2,kn q。其中qt代表q的轉置。所以只要令c qtdiag 根號k1,根號k2,根號kn q,那麼就有 c是正交陣並且a c 2 若存在可逆實對稱矩陣c使得a c 2，則c可以用正交陣對角化，即c qtdiag...
老師，能不能幫我證明一下“實對稱矩陣的特徵值一定是實數，其特徵向量一定是實向量”，謝謝！不勝感激
證明 設 是實對稱矩陣a的特徵值,是a的屬於特徵值 的特徵向量即有 a a,a共扼 a,a 0.考慮 共扼 a 共扼 a a 共扼 a 共扼 所以 共扼 共扼 共扼 因為 0,所以 共扼 0.所以 共扼 即 是實數. 電燈劍客 如果a是實對稱矩陣，x 是a的特徵對，即ax x，那麼x h ax x ...