1樓：
證：令f(x)=e^x-ex
對f(x)求導得
f '(x)=e^x-e
因為x＞1
所以f '(x)=e^x-e＞e¹-e=0故f(x)在x＞1上是增函式
故f(x)＞f(1)=e¹-e×1=0
即e^x-ex＞0
e^x＞ex
證畢。拉格朗日中值定理又稱拉氏定理，是微分學中的基本定理之一，它反映了可導函式在閉區間上的整體的平均變化率與區間內某點的區域性變化率的關係。
如果函式f(x)滿足：
（1）在閉區間[a,b]上連續；
（2）在開區間(a,b)內可導。
由該定理立即可得出一個推論：如果函式在某個區間上可導，那麼導函式在該區間上不存在第一類間斷點。換句話說，如果一個函式在某個區間上存在第一類間斷點，那麼它在該區間上沒有原函式。
2樓：薔祀
g(x)=e^x-ex，
g(x)在[1，x]連續，在（1，x）可導，所以由拉格朗日中值定理存在w∈(1,x),使得g'(w)=(g(x)-g(1))/(x-1)，
e^w-e=(e^x-ex)/(x-1)，即e^x-ex=(x-1)*(e^w-e)，此時x>1且w>1所以(x-1)*(e^w-e)>0，即e^x-ex>0;e^x>ex成立。
擴充套件資料：
定理表述
如果函式f(x)滿足：
（1）在閉區間[a,b]上連續；
（2）在開區間(a,b)內可導；
其他形式
上式稱為有限增量公式。
而有限增量公式卻給出了當自變數x取得有限增量δx（|δx|不一定很小）時，函式增量δy的準確表示式，這就是該公式的價值所在。
3樓：暮不語
設g(x)=e^x-ex，可得知g(x)在[1，x]連續，在（1，x）可導
由拉格朗日中值定理，存在w∈(1,x),使得g'(w)=(g(x)-g(1))/(x-1)，e^w-e=(e^x-ex)/(x-1)
即e^x-ex=(x-1)*(e^w-e)，此時x>1且w>1所以(x-1)*(e^w-e)>0
即e^x-ex>0
所以e^x>ex成立
擴充套件資料
如果函式f(x)滿足：
（1）在閉區間[a,b]上連續；
（2）在開區間(a,b)內可導；
拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情況和推廣，它是微分學應用的橋樑，在理論和實際中具有極高的研究價值。
拉格朗日中值定理在柯西的微積分理論系統中佔有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理對洛必達法則進行嚴格的證明，並研究泰勒公式的餘項。從柯西起，微分中值定理就成為研究函式的重要工具和微分學的重要組成部分。
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