1樓：師姐在此
區間套定理是數學分析中一個非常重要的定理，它同確界原理、單調有界原理、聚點定理、柯西收斂準則及有限覆蓋定理合稱為實數完備性的6個基本定理．由於這些定理的等價性，只要能用其中一個定理可以證明的命題，原則上用其它定理也能證明，但證明的難易程度往往有較大差別．
本文分析區間套定理的特點，通過應用例項說明數學分析中的許多重要結論，特別是涉及到由整體到區域性的命題，往往都能夠用區間套定理來證明．
不難看出，區間套定理說的是一個大區間裡套一個小區間，小區間裡再套一個更小區間，如此下去，最後套出一個公共點，其特點是由點集的整體性質得到某一點的區域性性質．因此，凡涉及到由整體到區域性的命題，特別是要證明在一定條件下存在一個點具有某種性質時，常常適合用區間套定理來證明[2-4]．此外，區間套定理還可以用來證明閉區間上連續函式的性質[5]
2樓：生活達人小桃子
分兩步，第一步套出一個數，第二步證明這個數就是上確界。
對於數集x,如果它有上界m,就構造閉區間列u[n],u[1]=[a[1],m],a[1]是任意一個數，只要使得u[1]∩x≠∅就可以。u[2]這樣構造，如果(a[1]+m)/2到m之間有x中的數，就令u[2]=[a[1]+m)/2,m]否則等於[a[1],(a[1]+m)/2].u[3]構造類似，就是再把u[2]一分為二，右半邊如果有x中的數就等於右半區間，否則等於左半區間。
就這樣一直構造下去，所有的u[n]都是遞減區間列，根據閉區間套定理，它們必有一個公共元素m.
要證m就是x的上確界。下面分類討論。
1)先說如果m就是集合x中的元素，那麼假設x中還有比m大的m',上述構造方法總會到最後總會有一個集合u[i]不包含m的，和m是公共元素矛盾了。這個比較好證明，就不寫具體過程了。這樣m在x中，而且x中還沒有比m更大的數，顯然m是x中的最大數，自然是上確界（根據上確界定義可知）.
2)m不在x中。先證明m任意小鄰域裡面有x中的數。還是反證法，假設可以找到一個δ>0,使得[m-δ,m+δ]裡面沒有x中的數，那由於區間u[n]長度可以任意小，只要n足夠大。
所以總能找到一個u[j]使得u[j]長度小於δ,但所有u都包含m,於是u[j]包含於[m-δ,m+δ]中，但是[m-δ,m+δ]中沒有x中元素，意思是u[j]裡面就沒有x中元素，和一開始約定的u[n]構造規則矛盾，所以m任意鄰域都有x中數。再證x中的數不可能比m大。還是反證法，和1)完全類似，就不寫了。
根據上確界的定義，m是x的上確界，就找到了。
閉區間套定理如何理解?
3樓：匿名使用者
閉區間套定理的理解：閉區間套定理，是實數連續性的一種描述，幾何意義是，有一列閉線段(兩個端點也屬於此線段)，後者被包含在前者之中，並且由這些閉線段的長構成的數列以о為極限，則這一列閉線段存在唯一一個公共點。
該定理反應了實數的完備性。
是關於實數連續性的6個等價命題之一，因此可以由其他5個定理推匯出來。但既然是關於實數連續性的定理，自然可以用實數的定義以及實數公理——戴德金定理來證明。
定律影響：
閉區間套定理由於具有較好的構造性，因此在實數相關的命題中有廣泛的應用，故閉區間套定理不僅有重要的理論價值，而且具有很好的應用價值。
例如用來證明單調有界定理。
閉區間上的連續函式。
的性質（有界性、最值性、零點存在性、一致連續性等），拉格朗日中值定理。
等微分學上常用的定理。作為介紹，在這裡給出用閉區間套定理證明單調有界定理和拉格朗日中值定理的過程。
以上內容參考 百科—閉區間套定理。
閉區間套定理
4樓：大寫的三橫一豎
區間套定理：設一無窮閉區間列適合寬孝敏下面兩個條件：（1）後一區間在前一區間之內，既對任一正整數n，有a(n)<=a(n+1)無窮時，區間列的長度所成的數列收斂於零，則區間的端點所成的兩數列及收斂於同一極限$，並且$是所有區間的唯一公共點。
閉區間套定理通常是和“二分法”配合使用的，即區間[a，b]從中點一分為二，通常得到的這兩個區間中有且僅有一個區間具有某種性質（和我們要證明的具體問題有關），把這個符合要求的區間[a1，b1]再分為兩半，再找出我們感興趣（具有某種性質）的那個小區間[a2，b2]。
依次類推，這樣每分一次，我們找到的區間長度就變為原來的一半，第n次得到的慎枝區間長度就是(b-a)/2^n，這樣當n趨於∞時，區間長度趨於0，這樣我們慎物得到了一個閉區間套[ai，bi]，並且有lim(bn-an)=0，滿足閉區間套定理的條件。
因此存在唯一的實數ξ=liman=limbn，這樣我們就把每次找到的小區間[ai，bi]具有的性質“傳遞”到了實數ξ上，而這一步正是用閉區間套定理證明問題的關鍵。
區間套定理的內容是什麼？
5樓：網友
先定義什麼是區間套：
設閉區間列 具有如下性質：
an, bn]包含[an+1,bn+1 ],n=1,2,..其中的意思是[an+1,bn+1 ]是[an, bn]的子集)
lim (bn-an)=0 (n→∞)則稱 為閉區間套，或簡稱區間套。
下面是區間套定理：
若 是一個區間套，則在實數r中存在唯一的點ξ，使得ξ∈[an, bn]，n=1,2,..即 an≤ξ≤bn, n=1,2,..
注：這個定理實際上表明瞭實數的完備性，實數是連續地充滿整個數直線而沒有間隙，而有理數就不具備這個性質。
什麼是區間套定理？
6樓：戰秋芹充娟
什麼是閉區間：數軸上任意兩點和這兩點間所有點組成的線段為一個閉區間。
閉區間套定理：有無窮個閉區間，第二個閉區間被包含在第一個區間內部，第三個被包含在第二個內部，以此類推（後一個線段會被包含在前一個線段裡面），這些區間的長度組成一個無窮數列，如果數列的極限趨近於0（即這些線段的長度最終會趨近於0），則這些區間的左端點最終會趨近於右端點，即左右端點收斂於數軸上唯一一點，而且這個點是此這些區間的唯一公共點。（開區間同理）
7樓：騎驢搗蛋
閉區間套定理：有無窮個閉區間，第二個閉區間被包含在第一個區間內部，第三個被包含在第二個內部，以此類推（後一個線段會被包含在前一個線段裡面），這些區間的長度組成一個無窮數列，如果數列的極限趨近於0（即這些線段的長度最終會趨近於0），則這些區間的左端點最終會趨近於右端點，即左右端點收斂於數軸上唯一一點，而且這個點是此這些區間的唯一公共點。（開區間同理）
閉區間套定理的介紹
8樓：匿名使用者
閉區間套定理：如果形成一世侍個閉區間套，則在絕返嫌實數系中存在唯一的實數ξ屬於所有的閉區間[an ,bn ]，n=1,2,3，…；即an≤ξ≤bn , n=1,2,3，並手…。且lim an=lim bn=ξ。
開區間可導加閉區間連續與閉區間可導有什麼不同麼，請懂的人詳細講講，謝
這麼說吧，閉區間可導這個說法本身就不正確，因為某點可導的條件是它的左右導數相同，而對於右端點，因為閉區間它沒有右領域，無法求右導數，同理左端點無左導數。所以閉區間兩端點無法可導，即閉區間不可導。但是連續的端點處定義是右極限等於函式值 右端點 和左極限等於函式值 左端點 也就是閉區間有連續的說法，沒有...
請問微分中值定理，為啥要閉區間連續，開區間可導
由微分中值定理的幾何意義知，f 指的是除掉端點外的曲線上某一點處的切線的斜率，所以不需要函式在端點處可導 我也有同樣的困惑，但是我知道 convi 的回答是錯誤的，函式可以說在閉區間內可導，跟連續是一個概念，詳見同濟高數五版 p83，單側導數概念的最後一小段。 怎麼能說在閉區間可導呀？端點處 要麼左...
在某閉區間有定義是代表區間內某一點有定義嗎？是連續嗎
板金鑫功友 首先你得理解連續必須滿足的條件 1 函式在該點上有定義，也就是取得到這一點所對應的自變數的值 2該點處存在極限 3 該點處的函式值等於極限值 那麼對於開區間與閉區間連續的定義我們就很容易瞭解 對於開區間，本身已經不包含兩端點值，所以根本滿足不了連續的第一個要求，所以要說某一開區間連續，我...