1樓：匿名使用者
由平方和公式：1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
所以當n>=6時，連續5個自然數的平方和可表示如下：
n(n+1)(2n+1)/6-(n-5)(n-4)(2n-9)/6...n表示最後一項；
=5(n^2-4n+6)
5是一個質數，要是結果為完全平方數，那麼n^2-4n+6必有一個因子是5；
所以n^2-4n+6=(n-2)^2+2其個位為5或者0；
(n-2)^2的個位不可能為8或者3，所以當然不可能存在符合要求的整數；
因此，命題得證；
求證：五個連續整數的平方和不是完全平方數
2樓：無瑋
證明：設五個連續整數為m－2, m－1, m, m+1, m+2. 其平方和為s.
那麼s＝（m－2）^2＋（m－1）^2＋m^2＋（m+1）^2＋（m+2）^2
＝5（m^2+2）.
∵m^2的個位數只能是0，1，4，5，6，9∴m^2+2的個位數只能是2，3，6，7，8，1∴m^2+2不能被5整除。
而5（m2+2）能被5整除，即s能被5整除，但不能被25整除。
3樓：匿名使用者
樓上的正解。1樓的沒有說清楚。
求證：五個連續整數的平方和不是完全平方數
4樓：網友
假設五個數是x-2，x-1，x，x+1，x+2那麼他們的平方和就是5x^2+10=5(x^2+10)很明顯，如果他是一個完全平方數，那麼這個完全平方數必定是一個無理數（由於有根號5存在）
證明:任何五個數相鄰的整數的平方和不是平方數
5樓：匿名使用者
(a＋2)^2＋(a＋1)^2＋a^2＋(a－1)^2＋(a－2)^2
＝5a^2＋10＝5(a^2＋2)
要使五個相鄰的整數的平方和為平方數，a^2＋2一定有因數5若a^2＋2有因數5則其個位必是0或5，從而得到a^2的個位必是3或8
但任何整數的平方的個位只能是0、1、4、5、6、9因此，不存在這樣的整數a，使得5(a^2＋2)是平方數，從而說明任何五個相鄰的整數的平方和不是平方數。
6樓：
假設：有五個連續整數，分別是x-2、x-1、x、x+1、x+2那麼，他們的平方和是。
5x^2+10=5（x^2+2)。如果這個數是某個數的平方，那麼(x^2+2)應該是5的倍數，因為它要給括號外面的5配成平方，對吧。
好，那麼，要使x^2+2是5的倍數，那麼x^2的個位必須是3或者8~
很遺憾，沒有任何一個數的平方的各位是3或者8的。
1、4、9、16、25、36、49、64、81、100（再往下個位又重複了）
所以，x^2+2不可能是5的倍數，5（x^2+2)也就不可能是某個數的平方了。
試說明:任意五個連續整數的平方和不是完全平方數
7樓：匿名使用者
^設五個連續自然數最中間的為n，則五個數的平方和可表為(n-2)^2+(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=5n^2+10
反證法，若可表示為完全平方，設上式為m^2即 5n^2+10=m^2
左邊有因子5，所以m必被5整除，設m=5t，原式化為n^2+2=5t^2
因為完全平方數模5的餘數只能是0，1，4，所以左邊模5只能餘2，3，1
與右邊能被5整除矛盾。
所以原方程無解。
誰發現任 意五個連續整數的平方和是5的倍數
8樓：匿名使用者
一道簡單的代數題。
（n-2）^2+（n-1）^2+n^2+（n+1）^2+（n+2）^2
=5n^2+10
顯然是5的倍數。
25道奧數及答案
9樓：芯紫薇
練習1.一個四位數加上38或減去138都是平方數，試求這個四位數。 答案：1987．
213838b
xax a2－b2＝176＝2×2×2×2×11 baba……
練習2. 求證：五個連續整數的平方和不是完全平方數。 答案：
證明：設五個連續整數為m－2, m－1, m, m+1, m+2. 其平方和為s.
那麼s＝（m－2）2＋（m－1）2＋m2＋（m+1）2＋（m+2）2
＝5（m2+2）.
∵m2的個位數只能是0，1，4，5，6，9 ∴m2+2的個位數只能是2，3，6，7，8，1 ∴m2+2不能被5整除。
而5（m2+2）能被5整除，即s能被5整除，但不能被25整除。
∴五個連續整數的平方和不是完全平方數。
練習3.一串連續正整數的平方12，22，32，……1234567892的和的個位數是＿＿.
（2023年全國初中數學聯賽題）
答案：5。因為平方數的個位數是。
（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1+0）×12345678＋（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1） 即個位數為5×8＋5。
練習4.設n = 23 x +92 y 為完全平方數，且n 不超過2392 . 則滿足上述條件的一切正整數對( x , y) 共有多少對。
答案：27.
分析：注意到23|92 ,從而，23 x +92 y 含有質因數23.
由此可構造不定方程，進而利用不等式控制( n 不超過2392 ) 求解。 解：因為n = 23 ( x +4 y) ,而23 為質數， 所以，存在正整數k ,使x +4 y =23 2k .
又因為23 ( x +4 y) =n ≤2392 ,所以， x + 4 y ≤104.
故23 2k = x + 4 y ≤104 ,即2k≤4. 於是， 2k = 1 ,4.
當2k = 1 時， x +4 y =23 ,此時， y ≤5 ,可得到5 個解； 當2k = 4 時， x +4 y =92 ,此時， y ≤22 ,可得到22 個解。
綜上所述， 滿足條件的一切正整數對( x , y) 共有5+22=27 對。
證明連續55個整數的平方和不是完全平方數
10樓：1111去
先說一下，a^b表示a的b次方，那麼，n^2表示n的平方。
設這55個數的中間數為m，那麼這55個數為：
m-27、m-26、……m-2、m-1、m、m+1、m+2、……m+26、m+27
那麼它們的平方和首尾配對，舉例如下：
（m-27）^2+（m+27）^2=2（m^2+27^2）
因而，這55個數的平方和相當於：
55×m^2+2×（1^2+2^2+3^2+……27^2）
=55×m^2+2×1/6×27×28×55（此處用上平方和公式1/6×n×(n+1)×(2n+1)）
=55×（m^2+252）
注意到，任何整數的平方，它的末位一定是0、1、4、9、6、5，於是m^2+252的末位一定是2、3、6、1、8、7，一定不是5的倍數。
因而55×（m^2+252）一定是5的倍數但一定不是25的倍數。
由完全平方數的判定法則——任何完全平方數的素因子分解式寫成指數形式一定會有所有指數均為偶數——可知，55×（m^2+252）一定不是完全平方數。
是否存在連續的五個整數，使得前四個數的平方和是第五個數的平方，要求用同餘的方法證明。
11樓：匿名使用者
設這5個連續自然數為(n-2)、(n-1)、n、(n+1)、(n+2)，由題意需要解如下方程：
(n-2)²+n-1)²+n²+(n+1)²＝n+2)²移項 (n-1)²+n²+(n+1)²＝n+2)²－n-2)²
化解後 3n²+2=8n
若n為奇數，則等號左右關於模8不同餘，等式不成立。
若n為偶數，不妨設n＝2t，則有。
12t²+2=16t
6t²+1=8t
此時，無論t為奇偶，等號左右關於模8不同餘，等式不成立。
故，不存在連續5個自然數，使得前四個數的平方和是第五個數的平方。
求連續整數，使前數的平方和等於後兩個數的平方和
解 設這五個連續整數的第三個為x，依題意，得 x 2 x 1 x x 1 x 2 x 4x 4 x 2x 1 x x 2x 1 x 4x 43x 6x 5 2x 6x 5 3x 2x 6x 6x 5 5 0 x 12x 0 x x 12 0 x 0或x 12 0 x1 0，x2 12 當x 0時，這...
連續正整數的積與1的和是不是一定是完全平方數
解 是設這四個正整數為a,a 1,a 2,a 3a a 1 a 2 a 3 1 a a 3 a 1 a 2 1 a 2 3a a 2 3a 2 1 a 2 3a 2 2 a 2 3a 1 a 2 3a 1 2 所以是完全平方數。 按鍵精靈家長幫 設4個連續正整數分別為n,n 1,n 2,n 3 其中...
連續自然數的和一定是5的倍數嗎，5個連續自然數的和一定是5的倍數嗎
s今生緣 是的。5個連續自然數的和一定中間那個數的5倍，和當然是5的倍數。 秋桑 你好！5個連續自然數的和一定是5的倍數，證明很簡單 假設最小數為x,那麼這五個自然數的和可表示為 x x 1 x 2 x 3 x 4 5x 10 5 x 2 因為x是自然數，所以5 x 2 必為5的倍數。 牢桖曼 設中...