給一些奧數題吧

時間 2022-10-14 12:05:10

1樓:匿名使用者

題1:某地生產一種綠色蔬菜,若在市場上直接銷售,每噸利潤為1000元;經粗加工後每噸利潤可達4500元;經精加工後銷售,每噸利潤漲至7500元,當地一家農工商公司收穫這種蔬菜140t,該公司的加工能力是:如果對蔬菜進行粗加工,每天可加工16t;如進行精加工,每天可加工6t,但兩種加工方式不可同時進行,受季節條件限制,公司必須在十五天內將這批蔬菜全部銷售或加工完畢。

為此,公司制定了三種方案:

方案一:將蔬菜全部進行粗加工;

方案二:儘可能多地對蔬菜進行精加工,沒來得及加工的蔬菜直接在市場上銷售;

方案三:將部分蔬菜進行精加工,其餘蔬菜進行粗加工,並恰好15天完成。

採用這三種方案加工蔬菜,各能獲利多少?選擇哪種方案獲利最多?

問題2:有10名菜農,每人可種甲種蔬菜3公頃或乙種蔬菜2公頃,已知甲種蔬菜每公頃可收入0.5萬元,乙種蔬菜每公頃可收入0.

8萬元,要使總收入不低於15.6萬元,則最多安排多少人種甲種蔬菜?

問題3:在一條直線上任取一點a,擷取ab=12cm,再擷取ac=38cm,de分別是ab、ac的中點,求d、e兩點之間的距離。

1、方案一:

15*16=250>140

可以全部粗加工

利潤=4500*140=630,000

方案二:

6*15=90<140

利潤=7500*90+1000*(140-90)=725,000

方案三:

設粗加工x天,則精加工15-x天

則有16x+6(15-x)=140 則x=5

利潤=16*5*4500+6*10*7500=810,000

所以第三個方案好,獲利多。

2.設x人種甲,則10-x人種乙

所以有x*3*0.5+(10-x)*2*0.8>15.6

1.5x+16-1.6x>15.6

0.4>0.1x

所以最多三人種甲

3.如b、c在a的同側,則有

38/2-12/2=19-6=13cm

如b、c在a的異側,則有

38/2+12/2=19+6=25cm

商店搞**活動,買5盒贈1盒,買30盒多少錢〈一盒2.60元〉{

華美洗髮水買一瓶30元,買五瓶贈一瓶, 買八瓶贈二瓶,買五瓶贈一瓶,平均每瓶多少元?媽媽和同事們合夥買12瓶,怎樣買合算????

某工廠制定了2023年的生產計劃,現有如下資料:(1)工人400人(2)每人年工時1100時。**年銷量80000-100000箱,每箱生產2時,用料10千克,目前存量300噸,年底可補充900噸,根據資料確定年產量及工人數

解:1.此工廠可以利用的工時資源有:400x1100=440000小時

2.可以利用的材料資源有300+900=1200噸=1200000千克

3.**年銷量80000-100000箱所需的

(1)工時:160000-200000時,需要的工人數:146-182人

(2)材料:800000-1000000千克

所以,可按最大**年銷量生產100000箱。

答:可確定年產量100000箱,工人數182人。

例1 :貨輪上卸下若干只箱子,總重量為10噸,每隻箱子的重量不超過1噸,為了保證能把這些箱子一次運走,問至少需要多少輛載重3噸的汽車?

[分析與解] 因為每一隻箱子的重量不超過1噸,所以每一輛汽車可運走的箱子重量不會少於2噸,否則可以再放一隻箱子。所以,5輛汽車本是足夠的,但是4輛汽車並不一定能把箱子全部運走。例如,設有13只箱子,,所以每輛汽車只能運走3只箱子,13只箱子用4輛汽車一次運不走。

因此,為了保證能一次把箱子全部運走,至少需要5輛汽車。

例2: 用10尺長的竹竿來擷取3尺、4尺長的甲、乙兩種短竹竿各100根,至少要用去原材料幾根?怎樣截法最合算?

[分析與解] 一個10尺長的竹竿應有三種截法:

(1) 3尺兩根和4尺一根,最省;

(2) 3尺三根,餘一尺;

(3) 4尺兩根,餘2尺。

為了省材料,儘量使用方法(1),這樣50根原材料,可截得100根3尺的竹竿和50根4尺的竹竿,還差50根4尺的,最好選擇方法(3),這樣所需原材料最少,只需25根即可,這樣,至少需用去原材料75根。

例3: 一個銳角三角形的三條邊的長度分別是兩位數,而且是三個連續偶數,它們個位數字的和是7的倍數,這個三角形的周長最長應是多少釐米?

[分析與解] 因為三角形三邊是三個連續偶數,所以它們的個位數字只能是0,2,4,6,8,並且它們的和也是偶數,又因為它們的個位數字的和是7的倍數,所以只能是14,三角形三條邊最大可能是86,88,90,那麼周長最長為86+88+90=264釐米。

例4: 把25拆成若干個正整數的和,使它們的積最大。

[分析與解] 先從較小數形開始實驗,發現其規律:

把6拆成3+3,其積為3×3=9最大;

把7拆成3+2+2,其積為3×2×2=12最大;

把8拆成3+3+2,其積為3×3×2=18最大;

把9拆成3+3+3,其積為3×3×3=27最大;……

這就是說,要想分拆後的數的乘積最大,應儘可能多的出現3,而當某一自然數可表示為若干個3與1的和時,要取出一個3與1重合在一起再分拆成兩個2之和,因此25可以拆成3+3+3+3+3+3+3+2+2,其積37×22=8748為最大。

例5: a、b兩人要到沙漠中探險,他們每天向沙漠深處走20千米,已知每人最多可攜帶一個人24天的食物和水,如果不準將部分食物存放於途中,問其中一個人最遠可以深入沙漠多少千米(要求最後兩人返回出發點)?如果可以將部分食物存放於途中以備返回時取用呢?

[分析與解] 設a走x天后返回,a留下自己返回時所需的食物,剩下的轉給b,此時b共有(48-3x)天的食物,因為b最多攜帶24天的食物,所以x=8,剩下的24 天食物,b只能再向前走8天,留下16天的食物供返回時用,所以b可以向沙漠深處走16天,因為每天走20千米,所以其中一人最多可以深入沙漠320千米。

如果改變條件,則問題關鍵為a返回時留給b24天的食物,由於24天的食物可以使b單獨深入沙漠12天的路程,而另外24天的食物要供a、b兩人往返一段路,這段路為24÷4=6天的路程,所以b可以深入沙漠18天的路程,也就是說,其中一個人最遠可以深入沙漠360千米。

例6: 甲、乙兩個服裝廠每個工人和裝置都能全力生產同一規格的西服,甲廠每月用的時間生產上衣, 的時間生產褲子,全月恰好生產900套西服;乙廠每月用的時間生產上衣,的時間生產褲子,全月恰好生產1200套西服,現在兩廠聯合生產,儘量發揮各自特長多生產西服,那麼現在每月比過去多生產西服多少套?

[分析與解] 根據已知條件,甲廠生產一條褲子與一件上衣的時間之比為2:3;因此在單位時間內甲廠生產的上衣與褲子的數量之比為2:3;同理可知,在單位時間內乙廠生產上衣與褲子的數量之比是3:

4;,由於,所以甲廠善於生產褲子,乙廠善於生產上衣。兩廠聯合生產,儘量發揮各自特長,安排乙廠全力生產上衣,由於乙廠生產 月生產1200件上衣,那麼乙廠全月可生產上衣1200÷ =2100件,同時,安排甲廠全力生產褲子,則甲廠全月可生產褲子900÷ =2250條。

為了配套生產,甲廠先全力生產2100條褲子,這需要2100÷2250=月,然後甲廠再用月單獨生產西服900×=60套,於是,現在聯合生產每月比過去多生產西服

(2100+60)-(900+1200)=60套

例7 今有圍棋子1400顆,甲、乙兩人做取圍棋子的遊戲,甲先取,乙後取,兩人輪流各取一次,規定每次只能取7p(p為1或不超過20的任一質數)顆棋子,誰最後取完為勝者,問甲、乙兩人誰有必勝的策略?

[分析] 因為1400=7×200,所以原題可以轉化為:有圍棋子200顆,甲、乙兩人輪流每次取p顆,誰最後取完誰獲勝。

[解] 乙有必勝的策略。

由於200=4×50,p或者是2或者可以表示為4k+1或4k+3的形式(k為零或正整數)。乙採取的策略為:若甲取2,4k+1,4k+3顆,則乙取 2,3,1顆,使得餘下的棋子仍是4的倍數。

如此最後出現剩下數為不超過20的4的倍數,此時甲總不能取完,而乙可全部取完而獲勝。

[說明] (1)此題中,乙是「後發制人」,故先取者不一定存在必勝的策略,關鍵是看他們所面臨的「情形」;

(2)我們可以這樣來分析這個問題的解法,將所有的情形--剩餘棋子的顆數分成兩類,第一類是4的倍數,第二類是其它。若某人在取棋時遇到的是第二類情形,那麼他可以取1或2或3,使得剩下的是第一類情形,若取棋時面臨第一類情形,則取棋後留給另一個人的一定是第二類情形。所以,誰先面臨第二類情形誰就能獲勝,在絕大部分雙人比賽問題中,都可採用這種方法。

例8 有一個80人的旅遊團,其中男50人,女30人,他們住的旅館有11人、7人和5人的三種房間,男、女分別住不同的房間,他們至少要住多少個房間?

[分析與解] 為了使得所住房間數最少,安排時應儘量先安排11人房間,這樣50人男的應安排3個11人間,2個5人間和1個7人間;30個女人應安排1個11人間,2個7人間和1個5人間,共有10個房間。

例9 有一個3×3的棋盤方格以及9張大小為一個方格的卡片,在每一張卡片上任意寫上一數,甲、乙兩人做遊戲,輪流選取一張卡片放到9格中的一格,對甲計算上、下兩行六個數字的和,對乙計算左、右兩列六個數字的和,和數大者為勝。證明:不論卡片上寫著怎樣的數,若甲先走總可以有一種策略使得乙不可能獲勝。

[證] 有三種情形:

(1)當a1+a9>a2+a8時,甲必勝。甲的策略是:先選a9放入a格中,第二次儘可能選小

的數放入b或d格,則a與c格中的數字之和不小於a1+a9,而b與d格的數字之和不大於a2+a8,,故甲勝。

(2)當a1+a9<a2+a8時,甲也必勝。甲先取a1放到b格,第二次甲選a8或a9放到a或c格中,這樣,a與c格的數字之和不小於a2+a8,而b與d格的數字之和不大於a1+a9,,故甲勝。

(3)當a1+a9 = a2+a8時,甲取勝或和局,甲可採用上述策略中的任一種。

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