1樓：mono教育
心形線 r(θ) = a(1+cosθ) 極軸之上部分 0 ≤ θ ≤ π
極軸就是θ=0的射線，或者不準確的講就是x軸正半軸。顯然，心形線關於極軸對稱，取其上半部分圖形(0<θ<π)。
所求旋轉體體積
v = ∫ <0, π> (2π/3) r^3sinθ dθ
= -(π/6)a^3[(1+cosθ)^4]<0, π> = (8π/3)a^3
極座標方程
水平方向： ρ=a(1-cosθ) 或 ρ=a(1+cosθ) (a>0)
垂直方向： ρ=a(1-sinθ) 或 ρ=a(1+sinθ) (a>0)
直角座標方程
心形線的平面直角座標系方程表示式分別為 x^2+y^2+a*x=a*sqrt(x^2+y^2) 和 x^2+y^2-a*x=a*sqrt(x^2+y^2）
2樓：阿藏聊教育
心形線 r(θ) = a(1+cosθ) 極軸之上部分 0 ≤ θ ≤ π。
故所求旋轉體體積
v = ∫ <0, π> (2π/3) r^3sinθ dθ
= (2π/3)a^3 ∫ <0, π> (1+cosθ)^3sinθ dθ
= -(2π/3)a^3 ∫ <0, π> (1+cosθ)^3 d(1+cosθ)
= -(π/6)a^3[(1+cosθ)^4]<0, π> = (8π/3)a^3。
單位換算
1立方分米=1000立方厘米=1000000立方毫米=1升=1000毫升=0.061 立方英寸。
1立方厘米=1000立方毫米=1毫升=0.000061 立方英寸。
1 立方米=1000 立方分米=1000000立方厘米=1000000000立方毫米=0.353 立方英尺=1.3079 立方碼。
1 立方英寸=0.016387 立方分米=16.387立方厘米=16387立方毫米。
1立方英尺=28.3立方分米=28300立方厘米=28300000立方毫米。
1 立方碼=27 立方英尺=0.7646 立方米=164.6立方分米=164600立方厘米=164600000立方毫米。
1 立方尺 = 31.143蒲式耳(英) = 32.143 蒲式耳(美）。
1 加侖(美) =0.0037854118 立方米 =0.8326741845 加侖（英）。
3樓：洪範周
心形線 f（θ）=a（1+cos（θ）），當a=1時，繞極軸旋轉一週所得的體積=5.14.
4樓：渾含蓮
建議你和高等數學老師當面**一下這個問題，注意學習方法
高等數學心形線繞極軸轉一圈的求體積的過程。
5樓：諾諾百科
心形線 r(θ) = a(1+cosθ) 極軸之上部分 0 ≤ θ ≤ π，
故所求旋轉體體積
v = ∫ <0, π> (2π/3) r^3sinθ dθ
= (2π/3)a^3 ∫ <0, π> (1+cosθ)^3sinθ dθ
= -(2π/3)a^3 ∫ <0, π> (1+cosθ)^3 d(1+cosθ)
= -(π/6)a^3[(1+cosθ)^4]<0, π> = (8π/3)a^3
擴充套件資料：
極座標方程
水平方向： ρ=a(1-cosθ) 或 ρ=a(1+cosθ) (a>0)
垂直方向： ρ=a(1-sinθ) 或 ρ=a(1+sinθ) (a>0)
直角座標方程
心形線的平面直角座標系方程表示式分別為 x^2+y^2+a*x=a*sqrt(x^2+y^2) 和 x^2+y^2-a*x=a*sqrt(x^2+y^2）
引數方程
x=a*(2*cos(t)-cos(2*t))y=a*(2*sin(t)-sin(2*t))
所圍面積為3/2*pi*a^2，形成的弧長為8a。
求心形線r=a(1+cosα)(a>0)所圍平面圖形繞極軸旋轉一週而成的旋轉體的體積,求詳細過程
求心形線p=a(1+cost)繞極軸旋轉所得旋轉體的體積
6樓：匿名使用者
解：由極座標下曲線ρ=ρ(θ)繞極軸旋轉所得的體積可以用以極點o為頂點，極徑ρ為母線的圓錐體積增量來積分。以ρ=ρ(θ)為母線的圓錐的體積為v(ρ,θ)=(π/3)(ρsinθ)^2(ρcosθ)=(π/3)ρ^3(sinθ)^2cosθ將ρ=a(1+cosθ)代入上式，可得：
v(ρ,θ)=v(θ)=(π/3)a^3(1+cosθ)^3(sinθ)^2cosθ令f(θ)=(1+cosθ)^3(sinθ)^2cosθ，則v(θ)=(1/3)πa^3f(θ)從而v(θ+dθ)=(1/3)πa^3f(θ+dθ),可得：dv=v(θ+dθ)-v(θ)=[dv(θ)/dθ]dθ當圓錐的頂角大於π/2時，v(θ+dθ) 求心形線r=a(1+cosθ)(a>0)繞極軸旋轉所圍成的立體的體積~ 7樓：116貝貝愛 ^^解題過程如下： v=∫π(rsinθ)^2*rdθ =π*∫r^3*(sinθ)^2dθ =πa^3*∫(1+cosθ)^3*(sinθ)^2dθ =64πa^3*∫(cost)^8*(sint)^2dt =64πa^3*[∫(cost)^8dt-∫(cost)^10dt] =32π^2*a^3*7/256 =7π^2*a^3/8 性質：在平面上取定一點o，稱為極點。從o出發引一條射線ox，稱為極軸。再取定一個單位長度，通常規定角度取逆時針方向為正。 平面上任一點p的位置就可以用線段op的長度ρ以及從ox到op的角度θ來確定，有序數對（ρ，θ）就稱為p點的極座標，記為p（ρ，θ）；ρ稱為p點的極徑，θ稱為p點的極角。 在平面上，取一點o稱為極點，從o出發的一射線ox稱為『極軸』。平面上任意一點p的位置，就可以用線段op的長度γ和op與ox所夾的角θ來確定。（γ、θ）稱為點p的極座標。 極座標方程經常會表現出不同的對稱形式，如果ρ(−θ）= ρ（θ），則曲線關於極點（0°/180°）對稱，如果ρ（π-θ）= ρ（θ），則曲線關於極點（90°/270°）對稱，如果ρ（θ−α）= ρ（θ），則曲線相當於從極點逆時針方向旋轉α°。 8樓：999級吞天巨鯤 θ=0，r=2a，θ=π，r=0，關於極軸對稱。 1、極軸左邊： v=∫（0,2a）πy²dxx =rcosθ=a(1+cosθ)cosθ =a(cosθ+cos²θ)dx =a(-sinθ-2sinθcosθ)dθy =rsinθ=a(1+cosθ)sinθ =a(sinθ+sinθcosθ)， 代入：v=∫（0,2a）πy²dx =π∫（π/2，0）a²(sinθ+sinθcosθ)²a(-sinθ-2sinθcosθ)dθ =πa³∫（0，π/2）sin³θ（1+cosθ）²（1+2cosθ）dθ =-πa³∫（0，π/2）（1-cos²θ）（1+cosθ）²（1+2cosθ）dcosθ 設t=cosθv=-πa³∫（1，0）（1-t²）（1+t）²（1+2t）dt =πa³∫（0,1）（1-t²）（1+2t+t²）（1+2t）dt =πa³∫（-1,1）（1-t²）（1+4t+5t²+2t³）dt =πa³∫（0,1）（1+4t+4t²-2t³-5t^4-2t^5）dt =πa³[t+2t²-t^4/2-t^5-t^6/3]（0,1）=πa³(1+2-1/2-1-1/3)=πa³(2-5/6)=7πa³/6 2、極軸右邊： r=a（1+cosθ）a＞0 r²=ar+acosθ =ar+ax 對原式進行兩邊積分 原式=（π/2）[ax十（2/3）（1/4a）（a²十4ax）^（3/2）]（-a/4,0） = （π/2）（a²/4十（1/6a）（a³-0）） = （π/2）（a²/4十a²/6） =πa（2/3）（1/4a）（a²十4ax）^（3/2）（-a/4,0） =πa³/6 擴充套件資料 積分性質 1、線性性 積分是線性的。如果一個函式f 可積，那麼它乘以一個常數後仍然可積。如果函式f和g可積，那麼它們的和與差也可積。 2、保號性 如果一個函式f在某個區間上黎曼可積，並且在此區間上大於等於零。那麼它在這個區間上的積分也大於等於零。如果f勒貝格可積並且幾乎總是大於等於零，那麼它的勒貝格積分也大於等於零。 作為推論，如果兩個i上的可積函式f和g相比，f（幾乎）總是小於等於g，那麼f的（勒貝格）積分也小於等於g的（勒貝格）積分。 如果黎曼可積的非負函式f在i上的積分等於0，那麼除了有限個點以外，f = 0。如果勒貝格可積的非負函式f在i上的積分等於0，那麼f幾乎處處為0。如果f中元素a的測度μ （a）等於0，那麼任何可積函式在a上的積分等於0。 函式的積分表示了函式在某個區域上的整體性質，改變函式某點的取值不會改變它的積分值。對於黎曼可積的函式，改變有限個點的取值，其積分不變。對於勒貝格可積的函式，某個測度為0的集合上的函式值改變，不會影響它的積分值。 如果兩個函式幾乎處處相同，那麼它們的積分相同。如果對f中任意元素a，可積函式f在a上的積分總等於（大於等於）可積函式g在a上的積分，那麼f幾乎處處等於（大於等於）g。 9樓：不是苦瓜是什麼 θ=0，r=2a，θ=π，r=0，關於極軸對稱。 y軸右邊，比較簡單： v=∫（0,2a）πy²dx x=rcosθ=a(1+cosθ)cosθ=a(cosθ+cos²θ) dx=a(-sinθ-2sinθcosθ)dθ y=rsinθ=a(1+cosθ)sinθ=a(sinθ+sinθcosθ)，代入： v=∫（0,2a）πy²dx =π∫（π/2，0）a²(sinθ+sinθcosθ)²a(-sinθ-2sinθcosθ)dθ =πa³∫（0，π/2）sin³θ（1+cosθ）²（1+2cosθ）dθ =-πa³∫（0，π/2）（1-cos²θ）（1+cosθ）²（1+2cosθ）dcosθ 設t=cosθ v=-πa³∫（1，0）（1-t²）（1+t）²（1+2t）dt =πa³∫（0,1）（1-t²）（1+2t+t²）（1+2t）dt =πa³∫（-1,1）（1-t²）（1+4t+5t²+2t³）dt =πa³∫（0,1）（1+4t+4t²-2t³-5t^4-2t^5）dt =πa³[t+2t²-t^4/2-t^5-t^6/3]（0,1） =πa³(1+2-1/2-1-1/3) =πa³(2-5/6) =7πa³/6 不定積分的公式 1、∫ a dx = ax + c，a和c都是常數 2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + c，其中a為常數且 a ≠ -1 3、∫ 1/x dx = ln|x| + c 4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + c，其中a > 0 且 a ≠ 1 5、∫ e^x dx = e^x + c 6、∫ cosx dx = sinx + c 7、∫ sinx dx = - cosx + c 8、∫ cotx dx = ln|sinx| + c = - ln|cscx| + c 9、∫ tanx dx = - ln|cosx| + c = ln|secx| + c 10、∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + c = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + c = - ln|secx - tanx| + c = ln|secx + tanx| + c 常用特殊角的函式值： 1、sin30°=1/2 2、cos30°=(√3)/2 3、sin45°=(√2)/2 4、cos45°=(√2)/2 5、sin60°=(√3)/2 6、cos60°=1/2 7、sin90°=1 8、cos90°=0 9、tan30°=(√3)/3 10、tan45°=1 11、tan90°不存在 積化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化積公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 蓋辜苟 所圍成的面積為2a。心形線上下對稱，a為上半部分面積，s 面積 2a。關於不定積分，將完全平方公式求原函式即可 如圖 數學表達 極座標方程 水平方向 a 1 cos 或 a 1 cos a 0 垂直方向 a 1 sin 或 a 1 sin a 0 直角座標方程 心形線的平面直角座標系方程表示... 小茗姐姐 這是利用等價無窮小替換的。也可用平方差公式分子有理化。約去分母x，1 2 陳鵬 直接等價無窮小變換 根號 1 x 1等價無窮小是1 2x 其實 1 x a 1等價無窮小為ax 高等數學函式連續 海米君 取特殊情況代進去即可。在特殊情況下不成立，那麼極限就不存在。 獎勵嘞殼啊！我是我老婆大人... 高等教育出版社的 高等數學 把書看一遍，做一遍書上的題就ok了，一個月完全可以。只是知識點多，夠磨蹭的。 請家教，北京地區比較好的老師100元每小時。 自己看書吧 高數好學的，我大學連課本也沒有，考試都過了 我上大學從來都是自學,什麼物理,高數之類的,我平時根本聽不懂,等到考試前一個月的時候,我就拿...定積分求心形線所圍成的面積，高等數學定積分應用題 心形線的面積求導過程看不懂 求大佬解惑
高等數學函式，高等數學函式連續
怎麼過高等數學，如何自學高等數學