1樓：
三角形面積s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，
其中p=(a+b+c)/2
a、b、c表示三角形的邊長，√表示根號，即緊跟後面的括號內的全部數開根號。
這道題用到了海**式，它是利用三角形的三條邊的邊長直接求三角形面積的公式。
相較於海**式，我國著名的數學家秦九韶在《數書九章》提出了「三斜求積術」。 秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜。「術」即方法。
三斜求積術就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相減後餘數的一半，自乘而得一個數小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個。相減後餘數被4除馮所得的數作為「實」，作1作為「隅」，開平方後即得面積.
2樓：理玲海陽
證明（1）
與海倫在他的著作"metrica"(《度量論》)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設三角形的三邊a、b、c的對角分別為a、b、c，則餘弦定理為 cosc = (a^2+b^2-c^2)/2ab s=1/2*ab*sinc =1/2*ab*√(1-cos^2 c) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 設p=(a+b+c)/2 則p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形abc面積s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
證明（2）
我國宋代的數學家秦九韶也提出了「三斜求積術」。它與海**式基本一樣，其實在《九章算術》中，已經有求三角形公式「底乘高的一半」，在實際丈量土地面積時，由於土地的面積並不是的三角形，要找出它來並非易事。所以他們想到了三角形的三條邊。
如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。但是怎樣根據三邊的長度來求三角形的面積？直到南宋，我國著名的數學家秦九韶提出了「三斜求積術」。
秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜。「術」即方法。三斜求積術就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減後餘數的一半，自乘而得一個數，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個。
相減後餘數被4除，所得的數作為「實」，作1作為「隅」，開平方後即得面積。 所謂「實」、「隅」指的是，在方程px 2=q,p為「隅」，q為「實」。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜，所以 q=1/4 當p=1時，△ 2=q, △=√1/4 因式分解得 △ ^2=1/16[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2] =1/16[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2] =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/16(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =1/16 [2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)] =p(p-a)(p-b)(p-c) 由此可得：
s△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中p=1/2(a+b+c) 這與海**式完全一致，所以這一公式也被稱為「海倫－秦九韶公式」。 s=√1/4 .其中c>b>a.
根據海**式，我們可以將其繼續推廣至四邊形的面積運算。如下題： 已知四邊形abcd為圓的內接四邊形，且ab=bc=4,cd=2,da=6，求四邊形abcd的面積 這裡用海**式的推廣 s圓內接四邊形= 根號下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p為周長一半，a,b,c,d,為4邊） 代入解得s=8√ 3
證明（3）
在△abc中∠a、∠b、∠c對應邊a、b、c o為其內切圓圓心，r為其內切圓半徑，p為其半周長 有tana/2tanb/2+tanb/2tanc/2+tanc/2tana/2=1 r(tana/2tanb/2+tanb/2tanc/2+tanc/2tana/2)=r ∵r=(p-a)tana/2=(p-b)tanb/2=(p-c)tanc/2 ∴ r(tana/2tanb/2+tanb/2tanc/2+tanc/2tana/2) =[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tana/2tanb/2tanc/2 =ptana/2tanb/2tanc/2 =r ∴p^2r^2tana/2tanb/2tanc/2=pr^3 ∴s^2=p^2r^2=(pr^3)/(tana/2tanb/2tanc/2) =p(p-a)(p-b)(p-c) ∴s=√p(p-a)(p-b)(p-c) 證明(4) 通過正弦定理:和餘弦定理的結合證明 (具體可以參考證明方法1)
編輯本段推廣
關於三角形的面積計算公式在解題中主要應用的有： 設△abc中，a、b、c分別為角a、b、c的對邊，ha為a邊上的高，r、r分別為△abc外接圓、內切圓的半徑，p = (a+b+c)/2,則 s△abc =1/2 aha =1/2 ab×sinc = r p = 2r^2sinasinbsinc = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]
3樓：高中數學蔣老師
解三角形面積和周長最值的求法
4樓：皮皮鬼
1、先來看海**式：三角形面積s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，
其中p=(a+b+c)/2
a、b、c表示三角形的邊長，√表示根號，即緊跟後面的括號內的全部數開根號。
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