1樓：泣淑英霍釵
面積的計算
本節內容主要是簡述圖形面積的度量的概念和證明長方形的面積公式．
我們在§1中已經談到長度和角度的概念，現在來分析一下「面積」這個基本幾何量．度量一個圖形的面積通常取邊長為一個長度單位的正方形做面積單位．例如，我們把每邊長為1釐米的正方形的面積叫做一平方釐米．
度量一個圖形的面積的大小，實際上求出這個圖形所含有的面積單位的量數．也可以說是求這個圖形的面積和麵積單位的比值，這個量數(或比值)是一個正實數．
由面積的直觀含義，我們看到面積這個幾何量具有以下基本性質：
(1)設r和r′是兩個可以完全重合的「平面區域」(圖2－10)，即r和r′的形狀、大小完全一致，則r和r′的面積完全相等。兩個平面圖形如果面積相等，則稱它們是等積．
(2)設平面區域r1、r2是由平面區域r分割而成，則r的面積等於r1和r2面積的和(圖2－11)．
(3)設平面區域t是平面區域r的一部分，則t的面積小於r的面積(圖2－12)．
為了敘述方便，我們採用符號：s(a，b)表示兩條鄰邊長分別67是a、b的長方形面積．
定理長方形的面積等於長乘寬，即
s(a，b)＝a·b．
我們分以下幾種情況來證明本定理(①定理證明為選學內容．)．
(1)設u是長度單位，a＝lu，b=mu，l、m都是整數(在圖2－13中，l＝4，m＝3)．我們把a、b分別等分為l、m等份，然後過各分點，分別引a、b的平行線，把長方形abcd分割成l·m個邊長為u的單位正方形．所以
s(a，b)=
l·m·s(u，u)=l·m(u2)
＝lu·mu＝a·b．
(2)當u是長度單位，a＝l·u，b=m·u，但l、m不是整數的小正方形．所以
即s(a，b)=a·b．
(3)當l、m不一定是有理數(分數)時，我們應用以下夾逼原理來加以證明．
夾逼原理
設a、a′是兩個實數，假如它們同時被一個遞增數列｛an｝和一個遞減數列｛bn｝所左右夾逼，而且(bn-an)在n增大時可以小到任意小，即
a1≤…≤an－1≤an≤…＜a，
a′＜…≤bn≤bn-1≤…≤b1，
(bn-an)→0，
則a=a′
由於無理數可以用有理數來逼近，並可精確到任意程度．所以，我們可以取｛ln｝、｛l′n｝為左右夾逼l的分數數列，即ln、l′n為分數且ln→l←l′n；又取｛wn｝，｛w′n｝為左右夾逼m的分數數列．如圖2－15所示，
長方形abn***2n的面積=s(lnu，wnu)=lnwn(u2)，
長方形ab′nc′nd′n的面積=s(l′nu，w′nu)＝l′n·w′n(u2)．
設長方形abcd的面積=s(a，b)．
顯然有ln·wn(u2)≤s(a，b)≤l′n·w′n(u2)．
因為ln≤l≤l′n，wn≤m≤w′n，
所以ln·wn≤l·m≤l′n·w′n．
(1)因為
(l′n-ln)→0，(w′n-wn)→0，
所以(l′n·w′n-ln·wn)
＝(l′n·w′n-l′n·wn+l′nw-ln·wn)
=［l′n(w′n-wn)+wn(l′n-ln)］→0．(2)
由(1)、(2)並根據夾逼原理，就有
s(a，b)＝l·m(u2)，
即s(a，b)=lu·mu=a·b．
2樓：仲才左丘武
我想樓主的問題應該是證明為何矩形面積是長乘以寬，針對任意矩形來說；
微分方法可以證明，把一個長方形微分成單位的dx矩形，這個思路是正確的，高等數**用這種方法；大致可以設想一下假設，在寬為dx,長為l的矩形，其面積不能用定義的長乘以寬來做，因為我們就是要證明這個，可以把dx理解為無數個長l無縫隙地累加在一起，形成了寬dx的矩形，這樣，寬為dx的矩形面積就是ldx
矩形面積為什麼等於長乘寬 如題謝謝了
慶鑲芹 用積分求解 將矩形的一個頂點放在原點，另兩個頂點分別放置在x,y軸正半軸上，分別設為長a寬b 則s就是f x b在 0，a 區間內的積分，答案就是s ab 14214基佬天降 把一個矩形分成一個個的全等的小方塊，邊長都為一的小方塊 所以一個小方塊的面積就為1了，假設這個長方形的長為4所以就可...
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設寬為x米，則長為 x 4 米，根據題意得 x x 4 60 x 2 4x 60 0 x 10 x 6 0 x 6或x 10 捨去 x 4 10，長 寬分別為10米與6米。解1 設長x，寬為y 根據題意得 x y 60 方程組 解得x y 4 x 10，y 6 和x 6 y 10由於長寬都是正數 答...