1樓：匿名使用者
一元二次方程的解法
一、知識要點：
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中數學的一個重點內容，也是今後學習數學的基礎，應引起同學們的重視。
一元二次方程的一般形式為：ax2+bx+c=0,(a≠0)，它是隻含一個未知數，並且未知數的最高次數是2.的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通過“降次”將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解法：1、直接開平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例題精講：1、直接開平方法：
直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解為x=m±.例1．解方程（1）(3x+1)²=7（2）9x²-24x+16=11
分析：（1）此方程顯然用直接開平方法好做，（2）方程左邊是完全平方式(3x-4)²，右邊=11>0，所以此方程也可用直接開平方法解。
（1）解：(3x+1)²=7
∴3x+1=±7(注意不要丟解)
∴x=（±7-1）÷3
∴原方程的解為x1=,x2=（2）解：9x²-24x+16=11
∴(3x-4)²=11
∴3x-4=±11
∴x=（±11+4）÷3
∴原方程的解為x1=x2=2．配方法：用配方法解方程ax²+bx+c=0(a≠0)
先將常數c移到方程右邊：ax²+bx=-c
將二次項係數化為1：x²+x=-
方程兩邊分別加上一次項係數的一半的平方：x²+x+()²=±()²
方程左邊成為一個完全平方式：(x+)²=
當b²-4ac≥0時，x+=±
∴x=(這就是求根公式)例2．用配方法解方程3x²-4x-2=0
解：將常數項移到方程右邊3x²-4x=2
將二次項係數化為1：x²-x=
方程兩邊都加上一次項係數一半的平方：x²-x+()²=+()²
一元二次方程的解法：
一、知識要點：
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中數學的一個重點內容，也是今後學習數學的基礎，應引起同學們的重視。
一元二次方程的一般形式為：ax²+bx+c=0,(a≠0)，它是隻含一個未知數，並且未知數的最高次數是2的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通過“降次”將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解法：1、直接開平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。二、方法、例題精講：
1、直接開平方法：
直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的
方程，其解為x=m±.
2．配方法：用配方法解方程ax²+bx+c=0(a≠0)
先將常數c移到方程右邊：ax²+bx=-c
將二次項係數化為1：x²+x=-
方程兩邊分別加上一次項係數的一半的平方：x²+x+()²=±()²
方程左邊成為一個完全平方式：(x+)²=
當b²-4ac≥0時，x+=±
∴x=(這就是求根公式)
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然後計算判別式△=b2-4ac的值，當b2-4ac≥0時，把各項係數a,b,c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
一元二次方程的解法
一、知識要點：
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中數學的一個重點內容，也是今後學習數學的基礎，應引起同學們的重視。
一元二次方程的一般形式為：ax²+bx+c=0,(a≠0)，它是隻含一個未知數，並且未知數的最高次數是2的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通過“降次”將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解法：1、直接開平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例題精講：
1、直接開平方法：
直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)²=n(n≥0)的方程，其解為x=m±.例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11分析：
（1）此方程顯然用直接開平方法好做，（2）方程左邊是完全平方式(3x-4)2，右邊=11>0，所以此方程也可用直接開平方法解。
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)
先將常數c移到方程右邊：ax+bx=-c
將二次項係數化為1：x2+x=-方程兩邊分別加上一次項係數的一半的平方：x2+x+()2=-+()2方程左邊成為一個完全平方式：
(x+)2=當b2-4ac≥0時，x+=±∴x=(這就是求根公式)例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0解：將常數項移到方程右邊3x2-4x=2將二次項係數化為1：x2-x=方程兩邊都加上一次項係數一半的平方：
x2-x+()2=+()2配方：(x-)2=直接開平方得：x-=±∴x=∴原方程的解為x1=,x2=.
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然後計算判別式△=b2-4ac的值，當b2-4ac≥0時，把各項係數a,b,c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。例3．用公式法解方程2x2-8x=-5解：
將方程化為一般形式：2x2-8x+5=0∴a=2,b=-8,c=5b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0∴x===∴原方程的解為x1=,x2=.4．因式分解法：
把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓兩個一次因式分別等於零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。例4．用因式分解法解下列方程：
(1)(x+3)(x-6)=-8(2)2x2+3x=0(3)6x2+5x-50=0(選學）(4)x2-2(+)x+4=0（選學）(1)解：(x+3)(x-6)=-8化簡整理得x2-3x-10=0(方程左邊為二次三項式，右邊為零)(x-5)(x+2)=0(方程左邊分解因式)∴x-5=0或x+2=0(轉化成兩個一元一次方程)∴x1=5,x2=-2是原方程的解。(2)解：
2x2+3x=0x(2x+3)=0(用提公因式法將方程左邊分解因式)∴x=0或2x+3=0(轉化成兩個一元一次方程)∴x1=0，x2=-是原方程的解。注意：有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解，應記住一元二次方程有兩個解。
(3)解：6x2+5x-50=0(2x-5)(3x+10)=0(十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)∴2x-5=0或3x+10=0∴x1=,x2=-是原方程的解。(4)解：
x2-2(+)x+4=0（∵4可分解為2·2，∴此題可用因式分解法）(x-2)(x-2)=0∴x1=2,x2=2是原方程的解
小結：一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應用因式分解法時，一般要先將方程寫成一般形式，同時應使二次項係數化為正數。直接開平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用於任何一元二次方程（有人稱之為萬能法），在使用公式法時，一定要把原方程化成一般形式，以便確定係數，而且在用公式前應先計算判別式的值，以便判斷方程是否有解。配方法是推導公式的工具，掌握公式法後就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。
但是，配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用，是初中要求掌握的三種重要的數學方
法之一，一定要掌握好。（三種重要的數學方法：換元法，配方法，待定係數法）。
例5．用適當的方法解下列方程。(選學）（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0（2）x2+(2-)x+-3=0（3）x2-2x=-（4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0分析：（1）首先應觀察題目有無特點，不要盲目地先做乘法運算。
觀察後發現，方程左邊可用平方差公式分解因式，化成兩個一次因式的乘積。（2）可用十字相乘法將方程左邊因式分解。（3）化成一般形式後利用公式法解。
（4）把方程變形為4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然後可利用十字相乘法因式分解。（1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0(5x-5)(-x+13)=0∴x1=1,x2=13（2）解：
x2+(2-)x+-3=0[x-(-3)](x-1)=0x-(-3)=0或x-1=0∴x1=-3，x2=1（3）解：x2-2x=-x2-2x+=0(先化成一般形式)△=(-2)2-4×=12-8=4>0∴x=∴x1=,x2=（4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=04x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=02x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0∴x1=,x2=例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。(選學）分析：此方程如果先做乘方，乘法，合併同類項化成一般形式後再做將會比較繁瑣，仔細觀察題目，我們發現如果把x+1和x-4分別看作一個整體，則方程左邊可用十字相乘法分解因式（實際上是運用換元的方法）解：
[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0即(5x-5)(2x-3)=0∴5(x-1)(2x-3)=0(x-1)(2x-3)=0∴x-1=0或2x-3=0∴x1=1,x2=是原方程的解。例7．用配方法解關於x的一元二次方程x2+px+q=0解：x2+px+q=0可變形為x2+px=-q(常數項移到方程右邊)x2+px+()2=-q+()2(方程兩邊都加上一次項係數一半的平方)(x+)2=(配方)當p2-4q≥0時，≥0（必須對p2-4q進行分類討論）∴x=-±=∴x1=,x2=當p2-4q<0時，<0此時原方程無實根。
說明：本題是含有字母系數的方程，題目中對p,q沒有附加條件，因此在解題過程中應隨時注意對字母取值的要求，必要時進行分類討論。
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