1樓：告運潔鄢羅
幾何角度？
那首先畫一個平面直角座標系了，
然後就是導數的定義了，簡單的說導數就是某曲線，在某一點切線的斜率。那麼有了這個條件後，我們就可以發現，當一個曲線上所有切線的斜率都大於0，那麼他必定是單調遞增的。最簡單的就是一次函式了。
這樣我們就可以推出，當曲線斜率為正時，那麼函式單調遞增。負數是單調遞減。
而凹凸性的問題，這裡首先要知道什麼樣的曲線被定義為凹，什麼樣的為凸。
任意畫一條曲線，連線兩個端點，得到直線ab，你就會發現，這條曲線上有的點在ab直線上面，有的在下面。
那麼在幾何上面來說，我們稱在上面的為凸，在下的為凹。
那麼凹凸有什麼數學意義呢，在圖上面不難發現，凡是凸的部分，他的斜率，都是先大後小的（凹的則想反）所以，由此我們知道，凸的部分其實就是斜率不斷遞減的曲線，所以當我們把，導數重新看成一個函式是，他的導數為負數的時候，這個函式為凸。同理凹函式也一樣。
最後可以得到結論是：函式二階導數為負，則為凸，二階導數為正，函式為凹
2樓：毓鴻博狂赫
設f為定義在區間i上的函式，若對i上的任意兩點x1，x2和任意的實數λ∈（0，1），總有
f(λx1+(1-λ)x2)≤(≥)λf(x1)+(1-λ)f(x2),
則f稱為i上的下(上)凸函式,且凹函式是指下凸函式。
如果其二階導數在區間上恆大於等於0，就稱為凹函式。
如果其二階導數在區間上恆小於等於0，就稱為凸函式。
建議你畫兩個二次函式（一個口向上，一個口向下，向上的是凹函式），驗證一下。
一階導數大於0為單調增，小於0為單調減。
函式的凹凸性是怎樣定義的？（二階導數）
3樓：小史i丶
1、定義為：
設函式f(x)在區間i上有定義，若對i中的任意兩點x₁和x₂,和任意λ∈(0,1)，都有：
f(λx₁+(1-λ)x₂)>=λf(x₁)+(1-λ)f(x₂)，
則稱f為i上的凸函式，若不等號嚴格成立，即“>”號成立，則稱f(x)在i上是嚴格凸函式。
同理，如果">=“換成“<=”就是凹函式。類似也有嚴格凹函式。
2、從幾何上看就是：
在函式f(x)的圖象上取任意兩點，如果函式圖象在這兩點之間的部分總在連線這兩點的線段的下方，那麼這個函式就是凹函式。同理可知，如果函式影象在這兩點之間的部分總在連線這兩點線段的上方，那麼這個函式就是凸函式。
直觀上看，凸函式就是圖象向上突出來的。
如果函式f(x)在區間i上二階可導，則f(x)在區間i上是凸函式的充要條件是f''(x)<=0;f(x)在區間i上是凹函式的充要條件是f''(x)>=0。
4樓：八葉梧桐
最簡單的方法是從凹凸本身出發
這也是其名稱由來
最好的辦法是用原始定義（任意fx）得
實際上證明不難
比二階導數容易
5樓：匿名使用者
不同的書有不同的定義,有的說二階導數大於0是凹;有的又說二階導數小於0是凹.要看自己用的是什麼書
函式的凹凸性為什麼要用二階導數
6樓：晚夏落飛霜
一階導數反映的是函式斜率，而二階導數反映的是斜率變化的快慢，表現在函式的影象上就是函式的凹凸性。
f′′(x)>0,開口向上，函式為凹函式，f′′(x)<0,開口向下，函式為凸函式。
凸凹性的直觀理解：
設函式y=f(x)在區間i上連續,如果函式的曲線位於其上任意一點的切線的上方，則稱該曲線在區間i上是凹的；如果函式的曲線位於其上任意一點的切線的下方，則稱該曲線在區間i上是凸的。
確定曲線y=f(x)的凹凸區間和拐點的步驟：
1、確定函式y=f(x)的定義域；
2、求出在二階導數f"(x)；
3、求出使二階導數為零的點和使二階導數不存在的點；4、判斷或列表判斷,確定出曲線凹凸區間和拐點。
7樓：angela韓雪倩
在函式f(x)的圖象上取任意兩點，如果函式圖象在這兩點之間的部分總在連線這兩點的線段的下方，那麼這個函式就是凹函式。
直觀上看，凸函式就是圖象向上突出來的。比如如果函式f(x)在區間i上二階可導，則f(x)在區間i上是凹函式的充要條件是f''(x)>=0;f(x)在區間i上是凸函式的充要條件是f''(x)<=0;
通俗的講，一個函式求了一階導數（如大於o），只能說明是遞增，但不知是遞增的越來越快還是越來越慢（可以類比加速度的思想），只有求了二階導數才知道遞增的速度，即凹凸性。
擴充套件資料：
設函式f(x)在區間i上定義，若對i中的任意兩點x1和x2,和任意λ∈(0,1)，都有 f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2),若不等號嚴格成立，即"<"號成立，則稱f(x)在i上是嚴格凹函式。
如果"<="換成">="就是凸函式。類似也有嚴格凸函式。
設f(x)在區間d上連續，如果對d上任意兩點a、b恆有f（（a+b）/2）<(f(a)+f(b))/2
那麼稱f(x)在d上的圖形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恆有f（（a+b）/2）>(f(a)+f(b))/2
那麼稱f(x)在d上的圖形是（向上）凸的（或凸弧）
這個定義從幾何上看就是：
在函式f(x)的圖象上取任意兩點，如果函式圖象在這兩點之間的部分總在連線這兩點的線段的下方，那麼這個函式就是凹函式。 同理可知，如果函式影象在這兩點之間的部分總在連線這兩點線段的上方，那麼這個函式就是凸函式。
如果函式f(x)在區間i上二階可導，則f(x)在區間i上是凸函式的充要條件是f''(x)<=0;f(x)在區間i上是凹函式的充要條件是f''(x)>=0;
琴生（jensen）不等式（也稱為詹森不等式）：（注意前提、等號成立條件）設f(x)為凸函式，則f[(x1+x2+……+xn)/n]≤[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(下凸);設f(x)為凹函式，f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(上凸),稱為琴生不等式。
加權形式為：f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≤a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(下凸);f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(上凸),其中ai≥0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.
如果一個函式f(x)在某個區間i上有f''(x)（即二階導數）>0恆成立，那麼在區間i上f(x)的圖象上的任意兩點連出的一條線段，這兩點之間的函式圖象都在該線段的下方，反之在該線段的上方。
結合一階、二階導數可以求函式的極值。當一階導數等於0，而二階導數大於0時，為極小值點。當一階導數等於0，而二階導數小於0時，為極大值點；當一階導數和二階導數都等於0時，為駐點。
8樓：
我是一線高中數學教師，希望能幫到你。
在函式f(x)的圖象上取任意兩點，如果函式圖象在這兩點之間的部分總在連線這兩點的線段的下方，那麼這個函式就是凹函式。
直觀上看，凸函式就是圖象向上突出來的。比如如果函式f(x)在區間i上二階可導，則f(x)在區間i上是凹函式的充要條件是f''(x)>=0;f(x)在區間i上是凸函式的充要條件是f''(x)<=0;
通俗的講，一個函式求了一階導數（如大於o），只能說明是遞增，但不知是遞增的越來越快還是越來越慢（可以類比加速度的思想），只有求了二階導數才知道遞增的速度，即凹凸性。
如何直觀的通過二階導數判斷曲線凹凸性
9樓：
據曲線的凹凸性，f＂（a）>0時，曲線在a點上凹；f＂（a）<0時，曲線在a點下凹。 如果規定曲線在a點上凹為正，下凹為負（以下均如此設定） ，則凹向的正負就與f＂（a）的正負一致，f＂（a）的正負就表示曲線在a點上凹的正負。
10樓：虔誠尋覓
如果函式在該處一階導數等於0 ，而且二階導數大於0，那麼該圖形是凹圖形
如果函式在該處一階導數等於0 ，而且二階導數小於0，那麼該圖形是凸圖形
如果函式的二階導數不存在,如何求曲線的凹凸性？
11樓：匿名使用者
用定義啊，曲線的凹凸性本身定義是與二階導數無關的，就如函式極值定義也與一階導數無關一樣，但連續光滑時可以利用一階導數求極值。
凹函式定義是：設函式f(x)在區間i上定義，若對i中的任意兩點x1和x2,和任意λ∈(0,1)，都有f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2),則稱f(x)是i上的凹函式，在國外都是稱下凸函式。凸函式類比。
舉例吧，就看絕對值函式y=|x|，它在x=0一階導數不存在，二階導數當然不存在，但是可以證明它在包含x=0的任何區間內都是下凸的~~至於你說的那種一階導數存在而二階導數不存在的情況，不是很好舉例
12樓：
二階導數不存在說明這點不是光滑的，討論凹凸性沒有意義
二階導數大於零，函式圖形是凹的還是凸的
13樓：小小芝麻大大夢
凹的。二階導數大於0，說明該函式的一階導數是單增函式。也就是說，該函式在各點的切線斜率隨著 x 的增大而增大。因此，該函式圖形是凹的。
二階導數，是原函式導數的導數，將原函式進行二次求導。一般的，函式y=f（x）的導數y‘=f’（x）仍然是x的函式，則y’=f’（x）的導數叫做函式y=f（x）的二階導數。在圖形上，它主要表現函式的凹凸性。
切線斜率變化的速度，表示的是一階導數的變化率。函式的凹凸性（例如加速度的方向總是指向軌跡曲線凹的一側）。
14樓：
二階導數大於 0，說明該函式的一階導數是單增函式。也就是說，該函式在各點的切線斜率隨著 x 的增大而增大。因此，該函式圖形是 凹 的
15樓：痕水月
這個應該是一個order吧，好像這個有具體的書上會寫。
高等數學曲線的凹凸性與拐點
16樓：組編天下
理工類專業需
要考高數一
經管類專業需要考高數二
高數一的內容多，知識掌握要求一般要比高數二要高，大部分包含了高數二的內容。
高數一內容如下：
第一章：函式定義，定義域的求法，函式性質。
第一章：反函式、基本初等函式、初等函式。
第一章：極限（數列極限、函式極限）及其性質、運算。
第一章：極限存在的準則，兩個重要極限。
第一章：無窮小量與無窮大量，階的比較。
第一章：函式的連續性，函式的間斷點及其分類。
第一章：閉區間上連續函式的性質。
第二章：導數的概念、幾何意義，可導與連續的關係。
第二章：導數的運算，高階導數（二階導數的計算）第二章：微分
第二章：微分中值定理。
第二章：洛比達法則 1
第二章：曲線的切線與法線方程，函式的增減性與單調區間、極值。
第二章：最值及其應用。
第二章：函式曲線的凹凸性，拐點與作用。
第三章：不定積分的概念、性質、基本公式，直接積分法。
第三章：換元積分法
第三章：分部積分法，簡單有理函式的積分。
第三章：定積分的概念、性質、估值定理應用。
第三章：牛一萊公式
第三章：定積分的換元積分法與分部積分法。
第三章：無窮限廣義積分。
第三章：應用（幾何應用、物理應用）
第四章：向量代數
第四章：平面與直線的方程
第四章：平面與平面，直線與直線，直線與平面的位置關係，簡單二次曲面。
第五章：多元函式概念、二元函式的定義域、極限、連續、偏導數求法。
第五章：全微分、二階偏導數求法
第五章：多元複合函式微分法。
第五章：隱函式微分法。
第五章：二元函式的無條件極值。
第五章：二重積分的概念、性質。
第五章：直角座標下的計算。 1
第五章：在極座標下計算二重積分、應用。
第六章：無窮級數、性質。
第六章：正項級數的收斂法。
第六章：任意項級數。
第六章：冪級數、初等函式成冪級數。
第七章：一階微分方程。
第七章：可降階的微分方程。
第七章：線性常係數微分方程。
高數二的內容如下：
1. 數列的極限
2. 函式極限
3. 無窮小量與無窮大量
4. 兩個重要極限、收斂原則
5. 函式連續的概念、函式的間斷點及其分類6. 函式在一點處連續的性質
7. 閉區間上連續函式的性質
9. 導數的概念
10. 求導公式、四則運算、複合函式求導法則11. 求導法（續）高階導數
12. 函式的微分
13. 微分中值定理
14. 洛必塔法則
15. 曲線的切線與法線方程、函式的增減性與單調區間16. 函式的極值與最值
17. 曲線的凹凸性與拐點
19. 不定積分的概念、性質、直接積分法
20. 換元積分法
21. 不定積分的分部積分法
22. 簡單有理函式的積分
23. 定積分的概念、性質、幾何意義
24. 牛頓--不萊尼茨公式與定積分計算
25. 定積分的換元法
26. 定積分的分部積分法
27. 無窮區間上的廣義積分
28. 定積分的應用
30. 多元函式的概念、定義域的求法
31. 偏導數的求法
32. 全微分及其求法
33. 多元函式偏導數求法
34. 隱含數的導數和偏導數
35. 二重積分的定義、性質及計算（高數二）36. 直角座標系下計算二重積分
37. 交換積分次序、選擇積分次序
如果高數一的知識掌握的很好，那麼高數二就不在話下了。
主要是考試範圍不一樣
如何用定義求lnx的導數，利用導數定義求lnx的導數，詳細過程
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