1樓：匿名使用者
解排列組合應用題的21種策略
排列組合問題是高考的必考題，它聯絡實際生動有趣，但題型多樣，思路靈活，不易掌握，實踐證明，掌握題型和解題方法，識別模式，熟練運用，是解決排列組合應用題的有效途徑；下面就談一談排列組合應用題的解題策略.
1.相鄰問題**法:題目中規定相鄰的幾個元素**成一個組，當作一個大元素參與排列.
例1. 五人並排站成一排，如果 必須相鄰且 在 的右邊，那麼不同的排法種數有（ ）
a、60種 b、48種 c、36種 d、24種
解析：把 視為一人，且 固定在 的右邊，則本題相當於4人的全排列， 種，選 .
2.相離問題插空排:元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端.
例2.七人並排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那麼不同的排法種數是（ ）
a、1440種 b、3600種 c、4820種 d、4800種
解析：除甲乙外，其餘5個排列數為 種，再用甲乙去插6個空位有 種，不同的排法種數是 種，選 .
3.定序問題縮倍法:在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數的方法.
例3. 五人並排站成一排，如果 必須站在 的右邊（ 可以不相鄰）那麼不同的排法種數是（ ）
a、24種 b、60種 c、90種 d、120種
解析： 在 的右邊與 在 的左邊排法數相同，所以題設的排法只是5個元素全排列數的一半，即 種，選 .
4.標號排位問題分步法:把元素排到指定位置上，可先把某個元素按規定排入，第二步再排另一個元素，如此繼續下去，依次即可完成.
例4.將數字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數，則每個方格的標號與所填數字均不相同的填法有（ ）
a、6種 b、9種 c、11種 d、23種
解析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應數字填入其它三個方格，又有三種方法；第三步填餘下的兩個數字，只有一種填法，共有3×3×1=9種填法，選 .
5.有序分配問題逐分法:有序分配問題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組法.
例5.（1）有甲乙丙三項任務，甲需2人承擔，乙丙各需一人承擔，從10人中選出4人承擔這三項任務，不同的選法種數是（ ）
a、1260種 b、2025種 c、2520種 d、5040種
解析：先從10人中選出2人承擔甲項任務，再從剩下的8人中選1人承擔乙項任務，第三步從另外的7人中選1人承擔丙項任務，不同的選法共有 種，選 .
（2）12名同學分別到三個不同的路口進行流量的調查，若每個路口4人，則不同的分配方案有（ ）
a、 種 b、 種 c、 種 d、 種
答案： .
6.全員分配問題分組法:
例6.（1）4名優秀學生全部保送到3所學校去，每所學校至少去一名，則不同的保送方案有多少種？
解析：把四名學生分成3組有 種方法，再把三組學生分配到三所學校有 種，故共有 種方法.
說明：分配的元素多於物件且每一物件都有元素分配時常用先分組再分配.
（2）5本不同的書，全部分給4個學生，每個學生至少一本，不同的分法種數為（ ）
a、480種 b、240種 c、120種 d、96種
答案： .
7.名額分配問題隔板法:
例7：10個三好學生名額分到7個班級，每個班級至少一個名額，有多少種不同分配方案？
解析：10個名額分到7個班級，就是把10個名額看成10個相同的小球分成7堆，每堆至少一個，可以在10個小球的9個空位中插入6塊木板，每一種插法對應著一種分配方案，故共有不同的分配方案為 種.
8.限制條件的分配問題分類法:
例8.某高校從某系的10名優秀畢業生中選4人分別到西部四城市參加中國西部經濟開發建設，其中甲同學不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？
解析：因為甲乙有限制條件，所以按照是否含有甲乙來分類，有以下四種情況：
①若甲乙都不參加，則有派遣方案 種；②若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，然後安排其餘學生有 方法，所以共有 ；③若乙參加而甲不參加同理也有 種；④若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，然後再安排其餘8人到另外兩個城市有 種，共有 方法.所以共有不同的派遣方法總數為 種.
9.多元問題分類法：元素多，取出的情況也多種，可按結果要求分成不相容的幾類情況分別計數，最後總計.
例9（1）由數字0，1，2，3，4，5組成沒有重複數字的六位數，其中個位數字小於十位數字的共有（ ）
a、210種 b、300種 c、464種 d、600種
解析：按題意，個位數字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有 個，
個，合併總計300個,選 .
（2）從1，2，3…，100這100個數中，任取兩個數，使它們的乘積能被7整除，這兩個數的取法（不計順序）共有多少種？
解析：被取的兩個數中至少有一個能被7整除時，他們的乘積就能被7整除，將這100個陣列成的集合視為全集i,能被7整除的數的集合記做 共有14個元素,不能被7整除的陣列成的集合記做 共有86個元素；由此可知，從 中任取2個元素的取法有 ，從 中任取一個，又從 中任取一個共有 ，兩種情形共符合要求的取法有 種.
（3）從1，2，3，…，100這100個數中任取兩個數，使其和能被4整除的取法（不計順序）有多少種？
解析：將 分成四個不相交的子集，能被4整除的數集 ；能被4除餘1的數集 ，能被4除餘2的數集 ，能被4除餘3的數集 ，易見這四個集合中每一個有25個元素；從 中任取兩個數符合要；從 中各取一個數也符合要求；從 中任取兩個數也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有 種.
10.交叉問題集合法：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個數公式 .
例10.從6名運動員中選出4人蔘加4×100米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方案？
解析：設全集=｛6人中任取4人蔘賽的排列｝，a=｛甲跑第一棒的排列｝，b=｛乙跑第四棒的排列｝，根據求集合元素個數的公式得參賽方法共有：
種.11.定位問題優先法：某個或幾個元素要排在指定位置，可先排這個或幾個元素；再排其它的元素。
例11.1名老師和4名獲獎同學排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？
解析：老師在中間三個位置上選一個有 種，4名同學在其餘4個位置上有 種方法；所以共有 種。.
12.多排問題單排法:把元素排成幾排的問題可歸結為一排考慮，再分段處理。
例12.（1）6個不同的元素排成前後兩排，每排3個元素，那麼不同的排法種數是（ ）
a、36種 b、120種 c、720種 d、1440種
解析：前後兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個不同的元素排成一排，共 種，選 .
（2）8個不同的元素排成前後兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某1個元素排在後排，有多少種不同排法？
解析：看成一排，某2個元素在前半段四個位置中選排2個，有 種，某1個元素排在後半段的四個位置中選一個有 種，其餘5個元素任排5個位置上有 種，故共有 種排法.
13.「至少」「至多」問題用間接排除法或分類法:
例13.從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取3臺，其中至少要甲型和乙 型電視機各一臺，則不同的取法共有 （ ）
a、140種 b、80種 c、70種 d、35種
解析1：逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機，故不同的取法共有 種,選.
解析2：至少要甲型和乙 型電視機各一臺可分兩種情況：甲型1臺乙型2臺；甲型2臺乙型1臺；故不同的取法有 臺,選 .
14.選排問題先取後排:從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定的位置上，可用先取後排法.
例14.（1）四個不同球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法有多少種？
解析：先取四個球中二個為一組，另二組各一個球的方法有 種，再排：在四個盒中每次排3個有 種，故共有 種.
（2）9名乒乓球運動員，其中男5名，女4名，現在要進行混合雙打訓練，有多少種不同的分組方法？
解析：先取男女運動員各2名，有 種，這四名運動員混和雙打練習有 中排法，故共有 種.
15.部分合條件問題排除法:在選取的總數中，只有一部分合條件，可以從總數中減去不符合條件數，即為所求.
例15.（1）以正方體的頂點為頂點的四面體共有（ ）
a、70種 b、64種 c、58種 d、52種
解析：正方體8個頂點從中每次取四點，理論上可構成 四面體，但6個表面和6個對角面的四個頂點共面都不能構成四面體，所以四面體實際共有 個.
（2）四面體的頂點和各稜中點共10點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有（ ）
a、150種 b、147種 c、144種 d、141種
解析：10個點中任取4個點共有 種，其中四點共面的有三種情況：①在四面體的四個面上，每面內四點共面的情況為 ，四個面共有 個；②過空間四邊形各邊中點的平行四邊形共3個；③過稜上三點與對稜中點的三角形共6個.
所以四點不共面的情況的種數是 種.
16.圓排問題單排法:把 個不同元素放在圓周 個無編號位置上的排列，順序（例如按順時鐘）不同的排法才算不同的排列，而順序相同（即旋轉一下就可以重合）的排法認為是相同的，它與普通排列的區別在於只計順序而首位、末位之分，下列 個普通排列：
在圓排列中只算一種，因為旋轉後可以重合，故認為相同， 個元素的圓排列數有 種.因此可將某個元素固定展成單排，其它的 元素全排列.
例16.5對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不同站法？
解析：首先可讓5位姐姐站成一圈，屬圓排列有 種，然後在讓插入其間，每位均可插入其姐姐的左邊和右邊，有2種方式，故不同的安排方式 種不同站法.
說明：從 個不同元素中取出 個元素作圓形排列共有 種不同排法.
17.可重複的排列求冪法:允許重複排列問題的特點是以元素為研究物件，元素不受位置的約束，可逐一安排元素的位置，一般地 個不同元素排在 個不同位置的排列數有 種方法.
例17.把6名實習生分配到7個車間實習共有多少種不同方法？
解析：完成此事共分6步，第一步；將第一名實習生分配到車間有7種不同方案，第二步：將第二名實習生分配到車間也有7種不同方案，依次類推，由分步計數原理知共有 種不同方案.
18.複雜排列組合問題構造模型法:
例18.馬路上有編號為1，2，3…，9九隻路燈，現要關掉其中的三盞，但不能關掉相鄰的二盞或三盞，也不能關掉兩端的兩盞，求滿足條件的關燈方案有多少種？
解析：把此問題當作一個排對模型，在6盞亮燈的5個空隙中插入3盞不亮的燈 種方法,所以滿足條件的關燈方案有10種.
說明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉化為熟悉的模型如填空模型，排隊模型，裝盒模型可使問題容易解決.
19.元素個數較少的排列組合問題可以考慮列舉法:
例19.設有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的盒子現將這5個球投入5個盒子要求每個盒子放一個球，並且恰好有兩個球的號碼與盒子號碼相同，問有多少種不同的方法？
解析：從5個球中取出2個與盒子對號有 種，還剩下3個球與3個盒子序號不能對應，利用列舉法分析，如果剩下3，4，5號球與3，4，5號盒子時，3號球不能裝入3號盒子，當3號球裝入4號盒子時，4，5號球只有1種裝法，3號球裝入5號盒子時，4，5號球也只有1種裝法，所以剩下三球只有2種裝法，因此總共裝法數為 種.
20.複雜的排列組合問題也可用分解與合成法:
例20.（1）30030能被多少個不同偶數整除？
解析：先把30030分解成質因數的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依題意偶因數2必取，3，5，7，11，13這5個因數中任取若干個組成成積，所有的偶因數為
個.（2）正方體8個頂點可連成多少隊異面直線？
解析：因為四面體中僅有3對異面直線，可將問題分解成正方體的8個頂點可構成多少個不同的四面體，從正方體8個頂點中任取四個頂點構成的四面體有 個，所以8個頂點可連成的異面直線有3×58=174對.
21.利用對應思想轉化法:對應思想是教材中滲透的一種重要的解題方法，它可以將複雜的問題轉化為簡單問題處理.
例21.（1）圓周上有10點，以這些點為端點的弦相交於圓內的交點有多少個？
解析：因為圓的一個內接四邊形的兩條對角線相交於圓內一點，一個圓的內接四邊形就對應著兩條弦相交於圓內的一個交點，於是問題就轉化為圓周上的10個點可以確定多少個不同的四邊形，顯然有 個，所以圓周上有10點，以這些點為端點的弦相交於圓內的交點有 個.
（2）某城市的街區有12個全等的矩形組成，其中實線表示馬路，從 到 的最短路徑有多少種？
解析：可將圖中矩形的一邊叫一小段，從 到 最短路線必須走7小段，其中：向東4段，向北3段；而且前一段的尾接後一段的首，所以只要確定向東走過4段的走法，便能確定路徑，因此不同走法有 種.
排列組合的小題，排列組合的一個小題
首先每個場館要一個，因此是c3 5 a3 3選擇 還有兩個人任選場館，即3 3種 因此一共是c3 5 a3 3 3種方案 csadasdasda 5c2 3c2，因為是不同的奧運場管，5個裡選2個，剩餘3個裡選2個。這題目可用擋扳法 假設這5個人為a b c d e 如圖5個元素中有4個空 若在其中...
排列組合求概率的問題，排列組合概率問題
設n 2k 1，則p m n c 2k,k 1 2 2k 1 1 k 1 其中c n,m 代表n個數裡取m個的不同組合個數。求出c 2k,k 1 2 2k 1 是錯誤的，因為這個求解只是套了個二項式公式，而沒有考慮到m直到最後一步前，向來位於x軸右側這個重要的限制條件。這是概率論裡的一個著名問題，叫...
簡單的排列組合
喚騎 答案給的裝法是 法 就是先將兩個小球 在一起，即為c52a44的想法是正確的，可以令小球為abcde。ab一組，c，d，e ac一組，b，d，e ad一組，b，c e ae一組，b，c，d 然後還有bc一組。bd一組。be一組。cd一組。ce一組。de一組。即為c52 10 席欣豔 先選出三個...