質數質因數和互質數有什麼區別

1樓：匿名使用者

質數、質因數和互質數這三個術語的概念極易混淆，因為它們都有“質”和“數”兩個字。正確地區分這幾個概念，對掌握數的整除性這部分基礎知識，有著極其重要的意義。

（1）質數：一個自然數，如果只有1和它本身兩個約數，這個數叫做質數（也稱素數）。

例如：1的約數有：1；

2的約數有：1，2；

3的約數有：1，3；

4的約數有：1，2，4；

6的約數有：1，2，3，6；

7的約數有：1，7；

12的約數有：1，2，3，4，6，12；

…… 從上面各數的約數個數中可以看到：一個自然數的約數個數有三種情況：

①只有一個約數的，如1。因此，1不是質數，也不是合數。

②只有兩個約數的（1和它本身），如2，3，7……

③有兩個以上約數的，如4，6，12……

屬於第②種情況的，叫做質數。屬於第③種情況的，即：除了1和本身以外，還有別的約數，這樣的數叫做合數。

（2）質因數：一般地說，一個數的因數是質數，就叫做這個數的質因數。

例如：18=2×3×3

這裡的2、3、3都是18的因數，而2和3本身又都是質數，於是我們就把2、3、3叫做18的質因數。這裡需要注意的是：18也可以寫成3與6的乘積，即：

18=3×6，無疑3和6都是18的因數，但3本身是質數，可以稱做18的質因數，而6是合數，則不能稱做18的質因數。

（3）互質數：兩個或幾個自然數，當它們的最大公約數是1的時候，這兩個或幾個數，就叫做互質數（也叫互素數）。

例如：5和7，4和11，8和9，7、11和15，12、20和35……。

上述這幾組數，它們的最大公約數都是1，因此，它們都是互質數。在以上兩個互質數中，如7、11和15這三個數，7和11是互質數，11和15是互質數，7和15也是互質數。這類情況，我們就叫做這三個數“兩兩互質”。

但12、20和35這組數中，雖然它們也是互質數，但不是兩兩互質，因為12和35是互質數，至於12和20、20和35都不是互質數。

需要注意的是：不管兩個數互質或者兩個的數以上互質，這些數本身卻不一定是質數，如5和7是互質數，它們本身都是質數；4和11是互質數，其中4並不是質數；8和9是互質數，但8和9本身都不是質數。

總之，質數是指一個數。譬如說：“2是質數，11是質數”等等。

質因數雖然也是指一個數，但是它是針對另一個數而說的。譬如說：“5是35的質因數。

”如果離開35，孤立地說：“5是質因數。”則是不妥當的。

因此，質因數具有雙重身份：第一必須是個質數；第二必須是另一個數的因數。

互質數同質數、質因數都不同，它不是指一個數，而是指除了1以外，再沒有其他公約數的兩個或兩個以上的數。

由此可見：掌握質數、質因數和互質數這幾個術語的概念，其中質數是基礎，這三者之間既有聯絡，又有區別，要透徹理解和正確區分，才能防止混淆。

8..怎樣判斷一個數是不是質數？

正確而迅速地判斷一個自然數是不是質數，在數的整除性這部分知識中，是一項重要的基本技能。

由於大於2的質數一定是奇數（奇數又不一定都是質數），所以，在判斷一個自然數是不是質數時，首先要看它是奇數還是偶數。如果是大於2的偶數，這個數肯定不是質數，而是合數；如果是奇數，那就有可能是質數。在這種情況下，一般使用以下兩種方法：

（1）查表法：

主要是指查“質數表”。編制質數表的過程是：按照自然數列，第一個數1不是質數，因此要除外，然後按順序寫出2至500的所有自然數，這些數中2是質數，把它留下，把2後面所有2的倍數劃去，2後面的3是質數，接著再把3後面所有3的倍數劃去，如此繼續下去，剩下的便是500以內的全部質數。

最早使用上述方法來尋求質數的人，是古代希臘數學家埃拉託斯特尼，由於他在開始時，先把自然數寫在一塊蠟板上，把不是質數的數（合數）分別刺上一個孔，這樣，在蠟板上就被刺上了許多象篩子一樣的孔，後來，大家就把這種尋求質數的方法叫做“篩法”。

下面是用篩法尋找出的500以內質數表：

這類的質數表還可以編製成數字範圍更大一些的，如1000以內質數表等。判斷一個自然數是不是質數，如在表所規定的數字範圍內，即可用查表的方法進行判斷。

（2）試除法：

在手頭上沒有質數表的情況下，可以用試除法來判斷一個自然數是不是質數。例如判斷143、179是不是質數，就可以按從小到大的順序用2、3、5、7、11……等質數去試除。一般情況下用20以內的2、3、5、7、11、13、17、19這8個質數去除就可以了。

如143，這個數的個位是3，排除了被2、5整除的可能性，它各位數字的和是1+4+3=8，也不可能被3整除，通過口算也證明不能被7整除，當試除到11時，商正好是13，到此就可以斷定143不是質數。

對179試除過程如下：

179÷2=59……2

179÷3=66……1

179÷5=35……4

179÷7=25……4

179÷11=16……3

179÷13=13……10

179÷17=10……9

當179÷17所得到的不完全商10比除數17小時，就不需要繼續再試除，而斷定179是質數。這是因為2、3、5、7、11、13、17都不是179的質因數，因此，179不會再有比17大的質因數，或者說179不可能被小於10的數整除，所以，179必是質數無疑。

綜上所述，用試除法判斷一個自然數a是不是質數時，只要用各個質數從小到大依次去除a，如果到某一個質數正好整除，這個a就可以斷定不是質數；如果不能整除，當不完全商又小於這個質數時，就不必再繼

9.怎樣把一個合數分解質因數？

分解質因數在數的整除性這部分知識中，既是整除、約數、質數等基礎知識的綜合運用，也是後面學習最大公約數和最小公倍數的前提和準備，所以，在數的整除中,它具有承上啟下的作用。

把一個合數分解質因數，就是把這個合數用質因數相乘的形式表示出來。或者說，把一個合數寫成幾個質數的連乘積。譬如36是合數，把36分解成因數相乘，會有以下幾種情況：

（1）36=1×36 （2）36=2×18

（3）36=4×9 （4）36=3×12

（5）36＝6×6

在上面五種分解中，只有（2）式的2和（4）式的3是質數,其他都不是。要分解質因數就要把不是質數的數（1不是質數，也不是合數，排除在外），再分解成質數連乘的形式。如（3）式中的4和9都是合數，4可以分解為：

2×2； 9可以分解為： 3 × 3。這樣，把 36分解質因數，36=2×2×3×3。

事實上，除（l）式外，（2）（4）（5）式繼續分解，其最後結果也是同樣的。

把一個合數分解質因數，具體過程可採用短除法。

例如：把420分解質因數。（從最小的質因數開始）

由短除式中可以看到，420有2、2、5、3、7五個質因數，420分解質因數的結果是：420=2×2×5×3×7。

在進行分解質因數時，最後的書寫格式要特別注意，一定要把所要分解的合數寫在等號的左邊，如：24=2×2×2×3，105=3×5×7等，而不能寫在等號的右邊，如：2× 2×2×3= 24，這樣就與乘法算式相混淆，而不是分解質因數了。

10.怎樣找出一個合數所有的約數？

把一個合數所有的約數都找出來，對數目不大的合數，可以通過口算找出來，例如：9的約數有1、3、9；15的約數有1、3、5、15；21的約數有1、3、7、21等。對於數目較大的數，單純靠口算，就有可能會遺漏中間的約數。

通常可以先把這個合數分解質因數，再把各個質因數依次搭配結合，就可以找出它的所有約數。

例如：找出420的所有約數。

先把120分解質因數

420=2×2×3×5×7

（1）上面這些約數中有質數：2、3、5、7四個。

（2）由兩個質數結合成的有：

2×2=4 2×3=6

2×5=10 2×7=l4

3×5=15 3×7＝21

5×7=35

有4、6、10、14、15、21、35七個。

（3）由三個質數結合成的有：

2×2×3=12 2×2×5＝20

2×2×7＝28 2×3×5＝30

2×3×7=42 2×5×7＝70

3×5×7＝105

有12、20、28、30、42、70、105七個。

(4）由四個質數結合成的有：

2×2×3×5=60 2×2×3×7=84

2×2×5×7=140 2×3×5×7=210

有60、84、140、210四個。

因此，420的約數有4＋7＋7＋4=22（個），再加上1和420本身，共24個約數。

除上述方法外，還可以先把一個合數分解質因數，然後把每個質因數的個數加1，連乘起來，所得的積就是這個合數的所有約數的個數，並且包括了1和它本身。

仍以420為例：

∴420有 24個約數。

∴360也有 24個約數。

2樓：進擊的荷爺