1樓：我是一個麻瓜啊
推導方法如下圖：
平方和公式是一個比較常用公式，用於求連續自然數的平方和（sum of squares），可用來求很多關於平方數的數學題，其和又可稱之為四角錐數，或金字塔數（square pyramidal number）也就是正方形數的級數。此公式是馮哈伯公式(faulhaber's formula)的一個特例。
利用此公式可求得前幾項和為：1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785。
2樓：薔祀
公式：12+22+32+....+n2=n（n+1）(2n+1)/6
證明：我們知道 (m+1)^3 - m^3 = 3*m^2 + 3*m + 1，可以得到下列等式：
2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1
3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1
(n+1)^3 - n^3 = 3.n^2 + 3*n + 1
以上式子相加得到
(n+1)^3 - 1 = 3*sn + 3*n(n+1)/2 + n
其中sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...... + n^2
sn = n*(n + 1)*(2n + 1)/6
擴充套件資料：
有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然後分別求和，再將其合併即可.
例如：an=2n+n-1，可看做是2n與n-1的和
sn=a1+a2+...+an
=2+0+22+1+23+2+...+2n+n-1
=(2+22+...+2n)+(0+1+...+n-1)
=2(2n-1)/(2-1)+(0+n-1)n/2
=2n+1+n(n-1)/2-2
3樓：
公式：12+22+32+....+n2=n（n+1）(2n+1)/6證明：
給個算術的差量法求解：
我們知道 (m+1)^3 - m^3 = 3*m^2 + 3*m + 1，可以得到下列等式：
2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 13^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 14^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1.........
(n+1)^3 - n^3 = 3.n^2 + 3*n + 1以上式子相加得到
(n+1)^3 - 1 = 3*sn + 3*n(n+1)/2 + n
其中sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...... + n^2
化簡整理得到：
sn = n*(n + 1)*(2n + 1)/6
4樓：匿名使用者
1²+2²+3²+....+n²=n（n+1）(2n+1)/6
可用數學歸納法證明
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