1樓：匿名使用者
當a屬於[-1,1]，a^n趨於0或等於1，因此lima^n/n!=0
當a不屬於[-1,1]，直接算不方便，用stirling近似公式，當n趨於無窮，n!=(n/e)^n*√(2*π*n),其中π是圓周率，e是自然對數的底數。
lim a^n/n!= lim a^n/[(n/e)^n*√(2*π*n)]，可以看到，e和a是常數，lim（ea/n）^n*[1/√(2*π*n)]，當n趨於無窮大，（ea/n）^n和1/√(2*π*n)都趨於0。
綜上故lim a^n/n!= 0。
拓展與再定義
一直以來，由於階乘定義的不科學，導致以後的階乘拓展以後存在一些理解上得困擾，和數理邏輯的不順。階乘從正整數一直拓展到複數。傳統的定義不明朗。所以必須科學再定義它的概念。
真正嚴謹的階乘定義應該為：對於數n，所有絕對值小於或等於n的同餘數之積。稱之為n的階乘，即n!
對於複數應該是指所有模n小於或等於│n│的同餘數之積。。。對於任意實數n的規範表示式為：正數 n=m+x,m為其正數部，x為其小數部，負數n=-m-x,-m為其正數部，-x為其小數部。
2樓：詩殘莫續
直接證明不能這麼兩句話就算了。
當a屬於[-1,1]，a^n趨於0或等於1，因此lima^n/n!=0
當a不屬於[-1,1]，直接算不方便，用stirling近似公式，當n趨於無窮，n!=(n/e)^n*√(2*π*n),其中π是圓周率，e是自然對數的底數。
lim a^n/n!= lim a^n/[(n/e)^n*√(2*π*n)]
可以看到，e和a是常數，lim（ea/n）^n*[1/√(2*π*n)]
,當n趨於無窮大，（ea/n）^n和1/√(2*π*n)都趨於0。
綜上故lim a^n/n!= 0
3樓：孤翼之淚
這裡我把**拍給樓主。**在樓下，思想是構造數列，證明從某項開始數列遞減，有下界0，，因此收斂，並用遞推求極限。
有疑問請追問，滿意請採納~\(≧▽≦)/~
4樓：匿名使用者
極限是0.
(a)n/n!可以看成是a/1 * a/2 *……*a/n.
而當n->∞時，不管a的絕對值多大，總有一個m使得m>|a|，此時從a/m開始，後面每一項的絕對值都小於1，所以n越大，這個值就越小。最後趨向於0.
5樓：
bn=a^n/n!
limb(n+1)/bn=a/(n+1)=0∑bn 收斂
limbn=lima^n/n!=0
求證明極限為0。當n趨於無窮大，a的n次方除以n的階乘，極限為0。
6樓：特級教師
用夾逼準則證明：
設a正數且k≤a，(其中k為某正整數)
那麼a/(k+1)<1
則(a^n)/(n!)＝(a^k/k!)*[a^(n-k)/(a(n,k))] 其中a(n,k)表示排列
內組合，容從n個元素中選k個排列數。
0<(a^n)/(n!)<(a^k/k!)*[a^(n-k)/(k+1)^(n-k)]=(a^k/k!)*[a/k+1)]^(n-k)
當n→+∞時，(n-k)→+∞，(a^r/k!)*[a/(k+1)]^(n-k)→0
由夾逼準則可知
(a^n)/(n!)→0
當n趨於無窮時，n的n次方除以n的階乘的極限是多少
7樓：情意綿綿〃拗烘
你可以翻閱大學的高等數學課本,通常是第一冊呢.
證明用到了有界單調數列,必有極限
證明：當n趨於無窮時，n的階乘除以n的n次方的極限等於0.
8樓：匿名使用者
1樓的成立還要求復證明(n/n)*[(n-1)/n]*[(n-2)/n]*...的極制限為有限
。應該是這樣1/(n^n)/n!=1/(n/1*n/2*n/3*.....*n/n)
可得n/1*n/2*n/3*.....*n/n所有因子大於1，且大於n，極限為無窮，故1/(n/1*n/2*n/3*.....*n/n)的極限為0。。
9樓：taixigou購物與科學
n!/n^n=(1/n)(2/n)(3/n)....(n/n)<1/n
接下來可以用定義，也可以用兩邊夾法則，不用我多說了吧
10樓：數學
證明如下：
(n!)/(n^n)=(n/n)*[(n-1)/n]*[(n-2)/n]*...1/n
n趨於無窮時1/n趨於0.。。所以這個極限為0
用夾逼定理證明n趨向於正無窮時，a的n次方比上n的階乘的極限為0，詳細一點，初學……
11樓：匿名使用者
不防設a正數且r≤a為某正整數)
那麼a/(r+1)<1
則(a^n)/(n!)＝(a^r/r!)*[a^(n-r)/(npr)] 說明npr表示從n個元素中選r個排專列數屬
0<(a^n)/(n!)<(a^r/r!)*[a^(n-r)/(r+1)^(n-r)]=(a^r/r!)*[a/(r+1)]^(n-r)
當n→+∞時，(n-r)→+∞，(a^r/r!)*[a/(r+1)]^(n-r)→0
所以(a^n)/(n!)→0
無窮級數a的n次方除於n的階乘的極限？
12樓：匿名使用者
比值審斂法！
iman+1/an=
lim∑a^(n+1)*n!/(a^n*(n+1)!)=a當01,級數收斂。
當a=1,級數∑1/n!=e.
級數收斂！
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