1樓：mono教育
用歸納法證明，當n=2時，顯然有書的式子成立
假設當n=k時，成立，則有(a1+a2+...+an)/n>=(a1a2...an)^1/n
即(a1+a2+...+an)＾n>=n(a1a2...an)
現在只要證明到當n=k+1時成立即可
當n=k+1時
(a1+a2+...+an＋a(n+1))＾(n+1)=(a1+a2+...+a(n+1))(a1+a2+...+a(n+1))^n
>=(a1+a2+...+an)(a1+a2+...+a(n+1))^n+a(n+1)(a1+a2+...
+a(n+1))^n>=na1a2...ana(n+1)+a1a2...ana(n+1)=(n+1)a1a2...
ana(n+1)
所以成立
正數是數學術語
比0大的數叫正數（positive number），0本身不算正數。正數與負數表示意義相反的量。正數前面常有一個符號「+」，通常可以省略不寫，負數用負號（minus sign，即相當於減號）「－」和一個正數標記，如−2，代表的就是2的相反數。
在數軸線上，正數都在0的右側，最早記載正數的是我國古代的數學著作《九章算術》。
2樓：匿名使用者
你上高几啊
高二數學書上有啊
3樓：匿名使用者
高2數學上 不是有麼?照著看!
怎樣證明n個正數的幾何平均值小於等於其算術平均值？
4樓：mono教育
證明：
當n=3時
因為(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3*(ab^2+a^2b+ac^2+bc^2+a^2c+b^2c)+6abc
(ab^2+a^2b+ac^2+bc^2+a^2c+b^2c)=a(b^2+c^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)≥2abc+2bac+2cab=6abc
而a^3+b^3+c^3≥3abc
所以(a+b+c)^3≥3abc+3*6abc+6abc=27abc
所以，兩邊開立方得a+b+c≥3*(3√abc)《裡面的3√表示開立方》
詳解正數即正實數，它包括正整數、正分數(含正小數)、正無理數。而正整數只是正數中的一小部分。
正數不包括0，0既不是正數也不是負數，大於0的才是正數。
正數都比零大，則正數都比負數大。零既不是正數，也不是負數。則-a<0<(+)a
正數中沒有最大的數，也沒有最小的數。
去除正數前的正號等於這個正數的絕對值，也等於這個正數本身。
5樓：匿名使用者
如圖，最簡單的方法就是凸函式的性質
6樓：天黑才來電
證明：1）當n=2時，
a*b開方小於或等於a+b除以2
2）當n=3時
因為(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3*(ab^2+a^2b+ac^2+bc^2+a^2c+b^2c)+6abc
而(ab^2+a^2b+ac^2+bc^2+a^2c+b^2c)=a(b^2+c^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)≥2abc+2bac+2cab=6abc
而a^3+b^3+c^3≥3abc
所以(a+b+c)^3≥3abc+3*6abc+6abc=27abc
所以,兩邊開立方得a+b+c≥3*(3√abc)《裡面的3√表示開立方》
3）假設當有n個數成立時，並證明有n+1個數也成立，那麼n就真的成立了。在家去推吧
為什麼任意個正數的算術平均數不小於幾何平均數
7樓：點點外婆
設a,b均為均正數，則有(a+b)/2>=根號ab因為 （根號a-根號b)^2>=0 此式一定成立所以 （根號a)^2-2根號ab+(根號b)^2>=0a+b>=2根號ab
所以（a+b）/2>=根號ab
8樓：匿名使用者
你可以搜尋柯西不等式
調和平均數<=幾何平均數<=算術平均數<=平方平均數,怎樣證明?
9樓：藥郎小跟班
^調和平均數≤幾何平均數≤算術平均數≤平方平均數，結論如下：
1/[(1/a+1/b)/2]=<√(ab)=<(a+b)/2=<√[a^2+b^2)/2] (a>0,b>0)；
證明過程：
設a、b均為正數，且a>b.
1、利用基礎的幾何和算術並且反向構建方程式可得：(a - b)^2 >= 0，
即(a + b)^2 - 4ab >= 0，故a + b >= √(4ab) = 2√(ab).
經過變形可得：√(ab)=<(a+b)/2，
即：幾何平均數≤算術平均數。
2、利用上式的結論，可得：1 / (1/a + 1/b) = ab/(a+b) <= ab / 2√(ab).
即：調和平均數≤幾何平均數。
3、利用算式平方：因(a^2 + b^2) / 2 - (a/2 + b/2)^2 = (a - b)^2 / 4 >= 0，
故√((a^2 + b^2) / 2) >= (a + b)/2.
即：算術平均數≤平方平均數。
整理以上結果可得： 1/[(1/a+1/b)/2]=<√(ab)=<(a+b)/2=<√[a^2+b^2)/2] (a>0,b>0)，即調和平均數≤幾何平均數≤算術平均數≤平方平均數。
10樓：匿名使用者
二元的易證，多元的就有點麻煩了。下面給二元的證明，多元的找本競賽書看吧。
以下設a、b均為正數（這是為了避免分母為0的情況，否則對一些式子非負數也成立）。
基礎的，幾何和算術：因(a - b)^2 >= 0，即(a + b)^2 - 4ab >= 0，故a + b >= √(4ab) = 2√(ab).
調和與幾何：利用上式，有1 / (1/a + 1/b) = ab/(a+b) <= ab / 2√(ab).
算術與平方：因(a^2 + b^2) / 2 - (a/2 + b/2)^2 = (a - b)^2 / 4 >= 0，故√((a^2 + b^2) / 2) >= (a + b)/2.
n元的情況，幾何與算術可以用歸納法來證，有一點小技巧；也可以做為其他一些不等式的推論，如排序不等式、cauchy不等式，jensen不等式等。另幾個也是類似的。其中jensen不等式是關於凸函式性質的，證明要用到高等數學，不過比較廣泛，上面的幾個不等式好像都可以用它推出來。
要看初等的證明方法還是看競賽書吧。
11樓：匿名使用者
^證明過程：
設a、b均為正數。
基礎的，幾何和算術：
因(a - b)^2 >= 0，即(a + b)^2 - 4ab >= 0，故a + b >= √(4ab) = 2√(ab).
調和與幾何：利用上式，有1 / (1/a + 1/b) = ab/(a+b) <= ab / 2√(ab).
算術與平方：因(a^2 + b^2) / 2 - (a/2 + b/2)^2 = (a - b)^2 / 4 >= 0，故√((a^2 + b^2) / 2) >= (a + b)/2.
平均數是指在一組資料中所有資料之和再除以資料的個數。平均數是表示一組資料集中趨勢的量數，它是反映資料集中趨勢的一項指標。解答平均數應用題的關鍵在於確定「總數量」以及和總數量對應的總份數。
在統計工作中，平均數(均值)和標準差是描述資料資料集中趨勢和離散程度的兩個最重要的測度值。
12樓：匿名使用者
很簡單，平方後做差即可
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