1樓：huaziying華
華盃賽輔導講座(初一)
(2006．4．15)
例1．兩個正整數相加時，得到一個各位數字相同的兩位數，這兩個數相乘時，得到一個各位數字相同的三位數，求原來的兩個數．
解 由於這兩數和為二位數，故它們都不超過二位．由於其積的三位數字相同，故其積可以寫成111t(1≤t≤9，t為整數)的形式．
111t＝37×3t．於是這兩個數中必有一個為37或74．
若一個數為37，經試驗，另一數為18；若一個數為74，經試驗，另一個數為3．故填37與18或74與3．
例2．求質數p，使p2＋71的正約數不超過10個．
解 p＝2時，p2＋71＝75＝3×52，d(75)＝2×3＝6＜10，故p＝2是本題的解；
p＝3時，p2＋71＝80＝24×5，d(80)＝5×2＝10≤10，故p＝3是本題的解；
若質數p＞3，則p2≡1(mod 8)p2＋71≡0(mod 8)，故23|p2＋71；
p2≡1(mod 3) p2＋71≡0(mod 3)，故3|p2＋71．
所以，p2＋71＝2α×3β×t．其中α、β∈n*，且α≥3．
當α＝3，β＝1，t若有大於3的質因子，則d(p2＋71)≥4×2×2，故t＝1．此時無質數p滿足題意；
當α＝4，β＝1，必有t＝1，此時有d(p2＋71)≥5×2＝10．此時無質數p滿足題意；
當α≥4，β≥1，且等號不同時成立時，d(p2＋71)＞10．
綜上可知，解為p＝2，3．
例3．把1－51這51個整數分成17組，每組3個數，各組數的和都相等．
解：1＋2＋3＋…＋51＝52×51÷2＝26×51；故分成每組3個數的和＝26×51÷17＝78．
把1－51這51個數先分成3組，1－17一組，18－34為第二組，35－51為第三組．
如果能把第一組排成遞減2的一行數，第二組排成遞增1的一行數，則可以排出滿足要求的陣列來：
17 15 13 11 9 7 5 3 1 16 14 12 10 8 6 4 2
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
43 44 45 46 47 48 49 50 51 35 36 37 38 39 40 41 42
例4．2006100200650＋95的整數部分末兩位數字是幾？
解：2006100200650＋95＝2006100－910＋910200650＋95＝(200650－95)(200650＋95)＋910200650＋95
＝200650－95＋910200650＋95．
但95的末兩位數字為49，而200650的末兩位數字與650的末兩位數字相同．
計算61，62，63，……的末兩位數字，分別得到6，36，16，96，76，56；36；16；96；76；即其末兩位數字將出現迴圈，故650的末兩位數字為76，從而200650－95的末兩位數字為27．
故原式的整數部分的末兩位數字為27．
例5．⑴ 在1，2，3，4，…，2005，2006這2006個平方數的每一個的前面添上適當的「＋」號或「—」號，使其代數和取最小非負整數值．這個最小非負整數值是多少？試證明你的結論？
⑵ 在12，22，32，42，…，20052，20062這2006個平方數的每一個的前面添上適當的「＋」號或「—」號，使其代數和取最小非負整數值．這個最小非負整數值是多少？試證明你的結論？
解 ⑴ 由於這2006個數中有1003個奇數與1003個偶數，故其和為奇數，從而任意改變某些數前的符號，其代數和的奇偶性不變，故無論怎樣改變這些數前的符號，都不能使其和為偶數，從而此和不可能等於0，所以，所求的最小非負和最小為1．
又n－(n＋1)－(n＋2)＋(n＋3)＝0，故可從3起每4個數一組，每組的第1、4兩個數前用「＋」號，而第2、3兩個數前用「－」，則此2004個數的和為0，再在1前用「－」號，2前用「＋」號，則此2006個數的和為1．
所以，所求的最小非負和為1．
⑵ 同上知，此和不可能等於0．
由n2－(n＋1)2－(n＋2)2＋(n＋3)2＝4，如果在連續8個自然數的平方和中，第1、4、6、7個前面取「＋」號，第2、3、5、8個前面取「—」號，則其代數和為0．
2006＝8×250＋6，若把從72起每依次8個數為一組，按上述方法安排「＋」「－」號，則這些數(共250組))的代數和為0．
12＋22＋32＋42＋52＋62＝91，而(91－1)÷2＝45，且4＋16＋25＝45，故只要在22、42、52前用「－」號，12、32、62前而用「＋」號，則可使其代數和為1．
故，可以安排這2006個平方數前面的「+、－」號，使其代數和等於1．
從而這個最小非負整數值為1．
例6．⑴ 能否找到16個互不相同的整數，使其中任意9個整數的和都不能被9整除；
⑵ 能否找到17個互不相同的正整數也滿足此要求？
解：例如，其中8個被9除都餘1，另8個數被9整除．這樣的16個數中，任何9個都不能被9整除．
由於任取5個數，其中一定有3個數其和為3的倍數，取這5個數被3除的餘數，只能是1，2，0．若5個數被3除的餘數中，這三種2都有，則每種餘數的數各取一個，其和是3的倍數，如果這5個數被3除只有2種餘數，則由抽屜原理知，必有3個數被3除的餘數相同．取此3個數，其和是3的倍數．
於是，17個數一定能組成5組，每組3個數，其和是3的倍數．
把這5組數的和為3a，3b，3c，3d，3e．考慮a、b、c、d、e這5個數，由上證，其中必有3個數的和為3的倍數，不妨設a+b+c是3的倍數．於是3a+3b+3c是9的倍數，此時，取和為3a、3b、3c的9個數，其和為9的倍數．即任取17個整數，其中一定可以找到9個數，其和為9的倍數．因此找不到17個滿足上述要求的正整數．
例7．已知m、n、k為正整數，m≥n≥k，且2m+2n－2k是100的倍數，求m+n－k的最小值．
解 設2m+2n－2k =100t(t∈n)，若n=k，則得2m=100t，不可能，∴n>k．
∴ 2k(2m－k+2n－k－1)=22•52t．由2m－k+2n－k－1為奇數，∴ k≥2．
取m－k=p，n－k=q，(04(∵ 24+23<26)，取p、q值試驗：
p 5 6 7 8 9 10
2p 32 64 128 256 512 1024
2q的可能值 12，62 48，98 20+50k，k=0，1，2，3，4 14+50k，k=0，1，2，……，9 2+50k，k=0，1，2，……，20．
其中p=9時有解q=6，使m+n－k=p+q+k=17；再對p<15的值試驗，得p=10，q=1使m+n－k=p+q+k=13．而p>10時p+q+k>13．
∴ 最小值為13．
例8．把1，2，3，4，5，6，7，8這8個數寫在立方體的八個頂點處，在各稜的中點註上該稜兩端的兩個數的和，共得12個和.這12個和能否只有5個不同的值? 能否只有4個不同的值?
分析 為了解決本題，考慮與某頂點相鄰的三條稜中點處可能寫的數：
同一頂點出發的三條稜的中點處寫的三個數都不同。因為從這一頂點出發的三條稜的另一端點處寫的三個數都互不相同。
與1相鄰的三條稜的中點處可能寫3，4，5，6，7，8，9這7個數中的3個；
與8相鄰的三條稜的中點處可能寫9，10，11，12，13，14，15這7個數中的3個；
現在考慮最小的數1與最大的數8，與它們相鄰的稜的中點處寫的數中只有一個數相同，即為9。換句話說，與1和8相鄰的稜上出現的數除9外都不可能相同。而且，要在這兩個數為一個端點的稜的中點處出現9，必須1與8是同一條稜的兩個端點。
如果1與8不是同一條稜的兩個端點，則與它們相鄰的稜就有6條，這6條稜的中點處寫的數就有互不相同的6個數。於是所有稜的中點處寫的數就不會少於6個。而只有當1與8是同一條稜的兩個端點時與它們相鄰的稜上只出現5個不同的數。
為此要使條稜中點處寫的數只有5個不同的數值。就必須把1與8放在同一條稜的兩端。此時，如果讓與1相鄰的數儘可能大，而與8相鄰的數儘可能小。
就有可能在各條稜中點處只出現5個數。如下圖中的安排就是合要求的一種填法。
不同數值 a b c d e f g h
7，8，9，10，11， 1 6 2 8 7 4 5 3
由上面的分析知，在稜的中點處填的數只有4個不同的值的填法是不可能有的。
例9．有8組密碼，都是由三個字母組成的，分別代表一個三位數，相同的字母代表相同的數字，不同的字母代表不同的數字。它們分別是：
wnx rwq sxw xns pst nxy qwn tsx
已知其中四個密碼分別代表571、439、286、837．
你能破譯出這8組密碼嗎？
解：給出的4組數有12個數碼，1－9均有，其中，3重複2次，都在十位；7重複兩次，在
十、個位；8重複兩次，在百、十位．第4個陣列837中的每個數字都重複出現過．
在8組密碼中，十位重複的有4個字母：n、w、x、s，故其中必有一個字母是3．
⑴ 設n＝3，則837必為wnx或xns：
① 若w＝8，x＝7，則571無密碼組對應，故不可能；
② 若x＝8，s＝7，則286無密碼組對應，故不可能；
⑵ 設w＝3，則837為rwq或qwn，
① 若q＝7，則571無密碼組對應，
② 若q＝8，則286無密碼組對應，故不可能；
⑶ 設x＝3，則sxw＝837或nxy＝837，
① 由於y只出現1次，與7重複出現矛盾，故nxy＝837不可能；
② 若sxw＝837時，可逐步推出q＝1，p＝2，x＝3，n＝4，r＝5，t＝6，w＝7，s＝8，y＝9．這8組密碼分別為
743 571 837 348 286 439 174 683
例10．⑴ 能否在一個圓圈上安排數字1，2，3，…，13，使任兩個相鄰位置上的數之差(大減小)是5或8?
⑵ 能否在一個圓圈上安排數字1，2，3，…，13，使任兩個相鄰位置上的數之差(大減小)是3，4或5?
解：⑴ 1，6，11，3，8，13，5，10，2，7，12，4，9，即安排完了；
⑵ 由於1，2，3，11，12，13這6個數不能相鄰，故它們排在圓圈上後，每兩個數間至少要再插入1個數．即餘下7個數要插入此6個空檔處．由於4只能與此6個數中的1相鄰，10只能與這6個數中的13相鄰，故4與10也不能單獨插入某個空檔．這樣其餘5個數就必須單獨插入某個空檔，只能用4與10共同插入1個空檔，但這兩個數又不能相鄰，即無法完成這一安排．
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