1樓：匿名使用者
這是我想的一個簡單一點的證法：
1.先證正數的算術平均大於等於幾何平均：
對(x1+x2+…+xn)/n，如果x1,x2,…,xn都相等，那麼它們的算術平均等於它們的幾何平均。
如果x1,x2,…,xn不全相等，那麼肯定有一個xi>(x1+x2+…+xn)/n，有一個xj<(x1+x2+…+xn)/n
現在進行操作：
(1)若xi-(x1+x2+…+xn)/n>(x1+x2+…+xn)/n-xj，那麼把xi換成xi'=xi+xj-(x1+x2+…+xn)/n，把xj換成
xj'=(x1+x2+…+xn)/n；
(2)若xi-(x1+x2+…+xn)/n<(x1+x2+…+xn)/n-xj，那麼把xi換成xi'=(x1+x2+…+xn)/n，把xj換成
xj'=xi+xj-(x1+x2+…+xn)/n
(3)若xi-(x1+x2+…+xn)/n=(x1+x2+…+xn)/n-xj，那麼把xi和xj同時換成xi'=xj'=(x1+x2+…+xn)/n
現在驗證，每次操作後x1,x2,…,xn的算術平均不變，幾何平均增大。
顯然，算術平均是不變的，因為進行操作後xi'+xj'=xi+xj的和不變，其他的數也不變。對幾何平均，我們驗證進行操作後xi'xj'>xixj。事實上,令xi+xj=xi'+xj'=2t，xi-xj=2u，xi'-xj'=2v。
顯然，對情況(1)(2)(3)都有u>v，所以xi'xj'=(t+v)(t-v)=t^2-v^2>t^2-u^2=(t+u)(t-u)=xixj。
因此，每次操作後算術平均不變，幾何平均增大。但是，有限次操作後x1,x2,…,xn都相等。此時，算術平均等於幾何平均，而幾何平均比原來的幾何平均大，於是算術平均大於等於幾何平均。
2.下證調和平均小於等於幾何平均：
由1，(1/x1+1/x2+....1/xn)/n≥1/(x1x2…xn)^(1/n)
兩邊倒數，得：n/(1/x1+1/x2+....1/xn)≤(x1x2…xn)^(1/n)
證畢。還有，樓上是錯的，算術平均≥幾何平均
2樓：寒風翔
如果您知道代數平均≥幾何平均，我就接著這個思路說簡單易懂點兒的設數列tn=1/xn
那麼原式直接變為n/（t1+……tn）≤（1/t1t2…… tn）的n次方
左右兩邊同時取倒數，
（t1+……tn）/n ≥（t1t2…… tn）的n次方上面這個式子是什麼？呵呵
ps：哎呀，樓上的好像就是這麼答的，給他分兒吧
3樓：匿名使用者
用柯西不等式就可以呀
(a1+a2+....+an)/n>=(a1a2....an)^(1/n)
(1/x1+1/x2+....1/xn)/n>=1/(x1x2..xn)^(1/n)
n/(1/x1+1/x2+....1/xn)<=(x1x2..xn)^(1/n)
4樓：匿名使用者
用柯西不等式啊，我高中生都會……
先證n/(1/x1+1/x2+……1/xn)≤（x1+x2+……xn)/n
通分後原不等式就等價於n^2≤(x1+x2……+xn)(1/x1+1/x2+……+1/xn）
顯然由柯西不等式得
(x1+x2……+xn)(1/x1+1/x2+……+1/xn）≥（x1*1/x1+x2*1/x2+……+xn*1/xn)^2=n^2
現在再證明算術平均≤幾何平均
這裡用數學歸納法
1.對n=2,顯然有(x1+x2)/2≤(x1x2)^1/2
2.假設對n=k（k≥2，k∈n)結論成立
即（x1+x2+……xk)/k≤(x1x2……xn)^1/k
對n=k+1
x1+x2+……xk+（xk+1）+（k-1)(x1x2……xk+1)^1/k+1≤k*(x1x2……xn)^1/k
+k*[(xk+1)^2k/k+1(x1x2……xk)^k-1/k+1]^1/k≤k*2*[(x1x2……xn)^2/k+1]^1/2=2k*(x1x2……xn)^1/k+1
兩邊消去（k-1)(x1x2……xk+1)^1/k+1即可得結論對n=k+1成立
綜合1 2 可得結論對n≥2成立，又n等於1是結論顯然成立，故對一切正整數n結論都成立
得調和平均小於等於算術平均小於等於幾何平均
這題的關鍵在於兩邊同加（k-1)(x1x2……xk+1)^1/k+1
來利用假設，還有要從n=2開始，用一次基本不等式
等號的取得啥的我就沒細說了
證明不等式 （x1+x2+x3+……+xn）^n<=n^(n-1)*(x1^n+x2^n+x3^n+……+xn^n) 35
5樓：匿名使用者
有，這直接來自holder不等式 1/p+1/q=1
∑xiyi≤(∑xi^p)^1/p(∑yi^q)^1/q
p＞1 那麼，把yi=1 p=n帶入，即得不等式。
6樓：西一林
你看微積分一下就知道解了，如果沒學過，那麼高中的時候好象學過一個什麼的公式，就是先證明n＝1的成立，n＝2是成立，n＞＝2是也成立，那是什麼公式我忘記了
x1,x2....,xn>0,x1+x2+...+xn<=1/2,求證:(1-x1)(1-x2)...(1-xn)<=1/2排序不等式怎麼證明
7樓：匿名使用者
1，只有1項時，結論顯然。
2，假設對於n成立。
則n+1的情況，
(1-x_1)(1_x_2).......(1-x_n)(1-x_(n+1))
=(1-x_1)(1_x_2).......(1-x_n-x_(n+1)+x_n * x_(n+1))
>=(1-x_1)(1_x_2).......(1-x_n-x_(n+1))
>=1/2
所以對於任意n,原不等式恆成立。
此外關於本題不等式，我們還有如下情形更加一般的著名不等式：貝努利不等式 (1)設xi＞－1，i＝1，2，…，n，n ≥2且同號， 則(1＋x1)(1＋x2)…(1＋xn)＞1＋x1＋x2＋…＋xn
不等式證明求解已知:正數x1,x2,x3……xn 滿足x1+x2+x3+……+xn=1
8樓：匿名使用者
顯然n>=2
1/(x(1-x^3))=1/x+x^2/(1-x^3)而1/x1+1/x2+1/x3+...+1/xn>=n*(1/(1/n))=n^2
xi^2/(1-xi^3)>0
所以原式》1/x1+1/x2+1/x3+...+1/xn>=n^2>=4
命題得證
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