1樓：吙龖
我想額外說的是，此答案第二問為恆成立問題，而你問的是能成立問題。注意區分。需要的話請採納我給你解答～謝謝
2樓：猥瑣的小比
解:(1)f'(x)=1/(x+a)+2x
依題意有f'(-1)=0,即a=3/2
故f(x)=ln(x+3/2)+x^2
從而f'(x)=(2x^2+3x+1)/(x+3/2)=(2x+1)(x+1)/(x+3/2)
f(x)定義域為(-3/2,+無窮).
當-3/20;
當-1-1/2時,f'(x)>0.
故f(x)分別在區間(-3/2,-1)、(-1/2,+無窮)上單調遞增;
在區間[-1,-1/2]上單調遞減.
(2)f(x)的定義域為(-a,+無窮),
f'(x)=(2x^2+2ax+1)/(x+a)
其中2x^2+2ax+1=0的判別式:4a^2-8
(i)判別式小於0,即: -根20,故f(x)無極值.
(ii)若判別式等於0,則a=士根2.
若a=根2,x屬於(-根2,+無窮),f'(x)=((根2)x-1)^2/(x+根2)
當x=-(根2)/2時,f'(x)=0
當x屬於(-根2,-(根2)/2)u(-(根2)/2,+無窮)時,f'(x)>0,故f(x)無極值.
若a=-根2,x屬於(根2,+無窮),f'(x)=((根2)x-1)^2/(x-根2)>0,f(x)也無根值.
(iii)若判別式大於0,即a>根2,或a<-根2,則2x^2+2ax+1=0有兩個不同實數根
x1=[-a-根(a^2-2)]/2,x2=[-a+根(a^2-2)]/2
當a<-根2時,x1<-a,x2<-a,從而f'(x)在f(x)的定義域內沒有零點,故f(x)無極值.
當a>根2時,x1>-a,x2>-a,f'(x)在f(x)的定義域內有兩個不同的零點,由極值判別式方法知f(x)右x=x1,x=x2取得極值.
綜上,f(x)存在極值時,a的取值範圍為(根2,+無窮).
f(x)的極值之和為:
f(x1)+f(x2)
=ln(x1+a)+x1^2+ln(x2+a)+x2^2
=ln(1/2)+a^2-1
>1-ln2
=ln(e/2).
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