1樓：
由於函式概念比較抽象，學生對解有關函式記號 的問題感到困難，學好這部分知識，能加深學生對函式概念的理解，更好地掌握函式的性質，培養靈活性；提高解題能力，優化學生數學思維素質。現將常見解法及意義總結如下：
一、求表示式：
1.換元法：即用中間變數 表示原自變數 的代數式，從而求出 ，這也是證某些公式或等式常用的方法，此法解培養學生的靈活性及變形能力。
例1：已知 ,求 .
解：設 ,則 ∴ ∴
2.湊合法：在已知 的條件下，把 並湊成以 表示的代數式，再利用代換即可求 .此解法簡潔，還能進一步複習代換法。
例2：已知 ，求
解：∵ 又∵
∴ ，(| |≥1)
3.待定係數法：先確定函式型別，設定函式關係式，再由已知條件，定出關係式中的未知係數。
例3． 已知 二次實函式，且 +2 +4,求 .
解:設 = ，則
= 比較係數得 ∴
4.利用函式性質法:主要利用函式的奇偶性,求分段函式的解析式.
例4.已知 = 為奇函式,當 >0時, ,求
解:∵ 為奇函式，∴ 的定義域關於原點對稱，故先求 <0時的表示式。∵- >0,∴ ,
∵ 為奇函式，∴ ∴當 <0時 ∴
例5．一已知 為偶函式， 為奇函式，且有 + ， 求 , .
解：∵ 為偶函式， 為奇函式，∴ , ,
不妨用- 代換 + = ………①中的 ,
∴ 即 － ……②
顯見①+②即可消去 ,求出函式 再代入①求出
5.賦值法：給自變數取特殊值，從而發現規律，求出 的表示式
例6：設 的定義域為自然數集，且滿足條件 ,及 =1,求
解：∵ 的定義域為n，取 =1,則有
∵ =1,∴ = +2, ……
以上各式相加，有 =1+2+3+……+ = ∴
二、利用函式性質，解 的有關問題
1.判斷函式的奇偶性：
例7 已知 ,對一切實數 、 都成立，且 ,求證 為偶函式。
證明：令 =0, 則已知等式變為 ……①
在①中令 =0則2 =2 ∵ ≠0∴ =1∴ ∴ ∴ 為偶函式。
2.確定引數的取值範圍
例8：奇函式 在定義域（-1，1）內遞減，求滿足 的實數 的取值範圍。
解：由 得 ，∵ 為函式，∴
又∵ 在（-1，1）內遞減，∴
3.解不定式的有關題目
例9：如果 = 對任意的 有 ,比較 的大小
解：對任意 有 ∴ =2為拋物線 = 的對稱軸
又∵其開口向上∴ (2)最小， (1)= (3)∵在〔2，＋∞)上， 為增函式
∴ (3)< (4),∴ (2)< (1)< (4)
五類抽象函式解法
1、線性函式型抽象函式
線性函式型抽象函式，是由線性函式抽象而得的函式。
例1、已知函式f（x）對任意實數x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且當x＞0時，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在區間[－2，1]上的值域。
分析：由題設可知，函式f（x）是 的抽象函式，因此求函式f（x）的值域，關鍵在於研究它的單調性。
解：設 ，∵當 ，∴ ，
∵ ，∴ ，即 ，∴f（x）為增函式。
在條件中，令y＝－x，則 ，再令x＝y＝0，則f（0）＝2 f（0），∴ f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）為奇函式，
∴ f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4，
∴ f（x）的值域為〔－4，2〕。
例2、已知函式f（x）對任意 ，滿足條件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且當x＞0時，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式 的解。
分析：由題設條件可猜測：f（x）是y＝x＋2的抽象函式，且f（x）為單調增函式，如果這一猜想正確，也就可以脫去不等式中的函式符號，從而可求得不等式的解。
解：設 ，∵當 ，∴ ，則 ，
即 ，∴f（x）為單調增函式。 ∵ ， 又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。∴ ，∴ ， 即 ，解得不等式的解為－1 < a < 3。
2、指數函式型抽象函式
例3、設函式f（x）的定義域是（－∞，＋∞），滿足條件：存在 ，使得 ，對任何x和y， 成立。求：
（1）f（0）； （2）對任意值x，判斷f（x）值的正負。
分析：由題設可猜測f（x）是指數函式 的抽象函式，從而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。
解：（1）令y＝0代入 ，則 ，∴
。若f（x）＝0，則對任意 ，有 ，這與題設矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。
（2）令y＝x≠0，則 ，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故對任意x，f（x）＞0恆成立。
例4、是否存在函式f（x），使下列三個條件：①f（x）＞0，x ∈n；② ；③f（2）＝4。同時成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，說明理由。
分析：由題設可猜想存在 ，又由f（2）＝4可得a＝2．故猜測存在函式 ，用數學歸納法證明如下：
（1）x＝1時，∵ ，又∵x ∈n時，f（x）＞0，∴ ，結論正確。
（2）假設 時有 ，則x＝k＋1時， ，∴x＝k＋1時，結論正確。
綜上所述，x為一切自然數時 。
3、對數函式型抽象函式
對數函式型抽象函式，即由對數函式抽象而得到的函式。
例5、設f（x）是定義在（0，＋∞）上的單調增函式，滿足 ，求：
（1）f（1）；
（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值範圍。
分析：由題設可猜測f（x）是對數函式 的抽象函式，f（1）＝0，f（9）＝2。
解：（1）∵ ，∴f（1）＝0。
（2） ，從而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），
即 ，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函式，故
，解之得：8＜x≤9。
例6、設函式y＝f（x）的反函式是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那麼g（a＋b）＝g（a）•g（b）是否正確，試說明理由。
分析: 由題設條件可猜測y＝f（x）是對數函式的抽象函式，又∵y＝f（x）的反函式是y＝g（x），∴y＝g（x）必為指數函式的抽象函式，於是猜想g（a＋b）＝g（a）•g（b）正確。
解：設f（a）＝m，f（b）＝n，由於g（x）是f（x）的反函式，∴g（m）＝a，g（n）＝b，從而 ，∴g（m）•g（n）＝g（m＋n），以a、b分別代替上式中的m、n即得g（a＋b）＝g（a）•g（b）。
4、三角函式型抽象函式
三角函式型抽象函式即由三角函式抽象而得到的函式。
例7、己知函式f（x）的定義域關於原點對稱，且滿足以下三條件：
①當 是定義域中的數時，有 ；
②f（a）＝－1（a＞0，a是定義域中的一個數）；
③當0＜x＜2a時，f（x）＜0。
試問：（1）f（x）的奇偶性如何？說明理由。
（2）在（0，4a）上,f（x）的單調性如何？說明理由。
分析: 由題設知f（x）是 的抽象函式，從而由 及題設條件猜想：f（x）是奇函式且在（0，4a）上是增函式（這裡把a看成 進行猜想）。
解：（1）∵f（x）的定義域關於原點對稱，且 是定義域中的數時有
，∴ 在定義域中。∵
，∴f（x）是奇函式。
（2）設0＜x1＜x2＜2a，則0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，
∴f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小於零，進而知 中的 ，於是f（x1）＜ f（x2），∴在（0，2a）上f（x）是增函式。
又 ，∵f（a）＝－1，∴ ，∴f（2a）＝0，設2a＜x＜4a，則0＜x－2a＜2a，
，於是f（x）＞0，即在（2a，4a）上f（x）＞0。設2a＜x1＜x2＜4a，則0＜x2－x1＜2a，從而知f（x1），f（x2）均大於零。f（x2－x1）＜0，∵ ，∴ ，即
f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函式。綜上所述，f（x）在（0，4a）上是增函式。
5、冪函式型抽象函式
冪函式型抽象函式，即由冪函式抽象而得到的函式。
例8、已知函式f（x）對任意實數x、y都有f（xy）＝f（x）•f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，當 時， 。
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）在〔0，＋∞）上的單調性，並給出證明；
（3）若 ，求a的取值範圍。
分析：由題設可知f（x）是冪函式 的抽象函式，從而可猜想f（x）是偶函式，且在〔0，＋∞）上是增函式。
解：（1）令y＝－1，則f（－x）＝f（x）•f（－1），∵f（－1）＝1，∴
f（－x）＝f（x），f（x）為偶函式。
（2）設 ，∴ ， ，
∵ 時， ，∴ ，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在0，＋∞）上是增函式。
（3）∵f（27）＝9，又 ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，又 ，故 。
抽象函式常見題型解法綜述
抽象函式是指沒有給出函式的具體解析式，只給出了一些體現函式特徵的式子的一類函式。由於抽象函式表現形式的抽象性，使得這類問題成為函式內容的難點之一。本文就抽象函式常見題型及解法評析如下：
一、定義域問題
例1. 已知函式 的定義域是〔1，2〕，求f(x)的定義域。
解： 的定義域是〔1，2〕，是指 ，所以 中的 滿足
從而函式f(x)的定義域是〔1，4〕
評析：一般地，已知函式 的定義域是a，求f(x)的定義域問題，相當於已知 中x的取值範圍為a，據此求 的值域問題。
例2. 已知函式 的定義域是 ，求函式 的定義域。
解： 的定義域是 ，意思是凡被f作用的物件都在 中，由此可得
所以函式 的定義域是
評析：這類問題的一般形式是：已知函式f(x)的定義域是a，求函式 的定義域。
正確理解函式符號及其定義域的含義是求解此類問題的關鍵。這類問題實質上相當於已知 的值域b，且 ，據此求x的取值範圍。例2和例1形式上正相反。
二、求值問題
例3. 已知定義域為 的函式f(x)，同時滿足下列條件：① ；② ，求f(3)，f(9)的值。
解：取 ，得
因為 ，所以
又取 得
評析：通過觀察已知與未知的聯絡，巧妙地賦值，取 ，這樣便把已知條件 與欲求的f(3)溝通了起來。賦值法是解此類問題的常用技巧。
三、值域問題
例4. 設函式f(x)定義於實數集上，對於任意實數x、y， 總成立，且存在 ，使得 ，求函式 的值域。
解：令 ，得 ，即有 或 。
若 ，則 ，對任意 均成立，這與存在實數 ，使得 成立矛盾，故 ，必有 。
由於 對任意 均成立，因此，對任意 ，有
下面來證明，對任意
設存在 ，使得 ，則
這與上面已證的 矛盾，因此，對任意
所以 評析：在處理抽象函式的問題時，往往需要對某些變數進行適當的賦值，這是一般向特殊轉化的必要手段。
四、解析式問題
例5. 設對滿足 的所有實數x，函式 滿足 ，求f(x)的解析式。
解：在 中以 代換其中x，得：
再在(1)中以 代換x，得
化簡得：
評析：如果把x和 分別看作兩個變數，怎樣實現由兩個變數向一個變數的轉化是解題關鍵。通常情況下，給某些變數適當賦值，使之在關係中“消失”，進而保留一個變數，是實現這種轉化的重要策略。
五、單調性問題
例6. 設f(x)定義於實數集上，當 時， ，且對於任意實數x、y，有 ，求證： 在r上為增函式。
證明：在 中取 ，得
若 ，令 ，則 ，與 矛盾
所以 ，即有
當 時， ；當 時，
而 所以
又當 時，
所以對任意 ，恆有
設 ，則
所以 所以 在r上為增函式。
評析：一般地，抽象函式所滿足的關係式，應看作給定的運演算法則，則變數的賦值或變數及數值的分解與組合都應儘量與已知式或所給關係式及所求的結果相關聯。
六、奇偶性問題
例7. 已知函式 對任意不等於零的實數 都有 ，試判斷函式f(x)的奇偶性。
解：取 得： ，所以
又取 得： ，所以
再取 則 ，即
因為 為非零函式，所以 為偶函式。
七、對稱性問題
例8. 已知函式 滿足 ，求 的值。
解：已知式即在對稱關係式 中取 ，所以函式 的圖象關於點（0，2002）對稱。根據原函式與其反函式的關係，知函式 的圖象關於點（2002，0）對稱。
所以 將上式中的x用 代換，得
評析：這是同一個函式圖象關於點成中心對稱問題，在解題中使用了下述命題：設a、b均為常數，函式 對一切實數x都滿足 ，則函式 的圖象關於點（a，b）成中心對稱圖形。
八、網路綜合問題
例9. 定義在r上的函式f(x)滿足：對任意實數m，n，總有 ，且當x>0時，00的結論。
這是解題的關鍵性步驟，完成這些要在抽象函式式中進行。由特殊到一般的解題思想，聯想類比思維都有助於問題的思考和解決。
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