1樓：陶思瑩婁兒
用反證法。若不然，則對任意實數m>0,總存在實數xm>a,使得|f(xm)|>m.可令m=1,2,3,...
,則得一無窮數列.(xm>a).且有|f(xm)|>m.
(1)若數列有界，則由維爾斯特拉斯定理知，數列必有一子列存在極限，可設limx"n=k,(n--->+∞,且k≥a).由題設，函式f(x)在點k處連續，必在包含點k的一個小區間內有界，且limf(x)=f(k).(x-->k).
===>limf(x"n)=f(k).但由假設知，|f(x"n)|--->+∞,矛盾。（2）若數列無界，則必有一子列,limx"n=+∞.
且lim|f(x"n)|=+∞.這與limf(x)=a矛盾。原命題得證。
2樓：鈔麥商流
首先，收斂和有極限是一個概念。
其次，函式收斂能推出它是區域性有界的。【關於這個區域性，如果已知的是x→x0時函式有極限，則這個區域性是指x0的某個δ臨域；如果已知的是x→∞時函式有極限，則這個區域性指的是x>+∞或x<-∞】
但是有界不一定能推出收斂（有極限）【如函式f(x)=sinx,它是有界的，但當x→∞
時它並不收斂。】
綜上，收斂<=>有極限
收斂=>有界
高數：收斂，有界，有極限 之間的聯絡與區別到底是什麼？
3樓：粒下
收斂是指會聚於一點，向某一值靠近。如數列收斂，函式收斂的定義。
數列收斂
令為一個數列，且a為一個固定的實數，如果對於任意給出的b>0,存在一個正整數n，使得對於任意n>n,有|a n-a|函式收斂
定義方式與數列收斂類似。柯西收斂準則：關於函式f(x)在點x0處的收斂定義。對於任意實數b>0,存在c>0,對任意x1,x2滿足0<|x1-x0|函式的有界性
設函式f(x)的定義域為d，f（x）集合d上有定義。
如果存在數k1，使得 f(x)≤k1對任意x∈d都成立，則稱函式f(x)在d上有上界。
反之，如果存在數字k2，使得 f(x)≥k2對任意x∈d都成立，則稱函式f(x)在d上有下界，而k2稱為函式f(x)在d上的一個下界。
如果存在正數m，使得 |f(x)|≤m 對任意x∈d都成立，則稱函式在x上有界。如果這樣的m不存在，就稱函式f(x)在x上無界；等價於，無論對於任何正數m，總存在x1屬於x，使得|f(x1)|>m，那麼函式f(x)在x上無界。
此外，函式f(x)在x上有界的充分必要條件是它在x上既有上界也有下界。
函式極限
設函式f(x）在點x0的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數a，對於任意給定的正數ε（無論它多麼小），總存在正數δ，使得當x滿足不等式0<∣x0-x∣<δ時，對應的函式值f(x）都滿足不等式：
那麼常數a就叫做函式f(x）當x－﹥x0時的極限。
函式有界，但不一定收斂。比如函式y=sinx此類的三角函式是發散的。
函式收斂，但不一定有界，比如函式y=1/n，n為自然數，y=1/n是無界的。
函式極限存在，根據單調有界準則，函式必定收斂。
函式極限存在，根據極限的有界性，函式必定有界。
函式有界，但不一定存在極限；根據單調有界準則，函式極限應存在上界和下界才能成立。此外函式有界有存在單側有界的情況。
擴充套件資料:
函式極限存在準則
1、夾逼定理
當x0在δ的去心鄰域時，有g（x）－﹥x0=a，h（x）－﹥x0=a成立，且∣a m-a n∣<ξ，那麼，f(x)極限存在，且等於a。
2、單調有界準則：單調增加（減少）有上（下）界的數列必定收斂。
在運用以上兩條去求函式的極限時尤需注意以下關鍵之點。
一是先要用單調有界定理證明收斂，然後再求極限值。二是應用夾擠定理的關鍵是找到極限值相同的函式 ，並且要滿足極限是趨於同一方向 ，從而證明或求得函式 的極限值。
3、柯西準則
數列收斂的充分必要條件是任給ε>0,存在n(ε),使得當n>n,m>n時，都有極限值為a成立。
4樓：qjxin在路上
收斂就是有極限
單調有界必收斂
收斂必有界
5樓：我薇號
數列:有極限一定有界,有界不一定有極限(如數列:1,-1,1,-1……則有界但無極限).
無窮小則極限為0;(n趨於無窮大時)極限為0則為無窮小.無窮小(n趨於無窮大時)則有界;有界則不一定無窮小(如數列:an=1+(1/n)有界但不是無窮小 )
涵數【自變數在同一變化範圍內】:(在這一範圍內)有極限則有界;有界且有單調性則有極限.(在某一範圍內)若極限為0則在這一範圍內為無窮小;反之成立.
(在某一範圍內)若是無窮小則在這範圍內有界;在某一範圍內若有界且單調則有極限但不一定是無窮小
6樓：匿名使用者
收斂即有極限
收斂可以推出有界，但有界未必收斂
有界不一定有極限，但是單調有界必有極限
收斂、連續、有界的關係？
7樓：月似當時
收斂必然有界，反之不一定；連續是說函式在某範圍是一條不間斷的曲線。與收斂、有界，沒有必然關係。
比如，數列是典型的不連續函式，但是，可以收斂、有界；y=sinx是典型的有界、處處收斂、連續的函式。
擴充套件資料
對於任意的x0∈[a,b],由迭代式xk+1=φ（xk）所產生的點列收斂，即其當k→∞時，xk的極限趨於x*，則稱xk+1=φ（xk）在[a，b]上收斂於x*。
若存在x*在某鄰域r=,對任何的x0∈r，由xk+1=φ（xk）所產生的點列收斂，則稱xk+1=φ（xk）在r上收斂於x*。
關於函式的有界性，應注意以下兩點：
(1)函式在某區間上不是有界就是無界，二者必屬其一；
(2)從幾何學的角度很容易判別一個函式是否有界。如果找不到兩條與x軸平行的直線使得函式的圖形介於它們之間，那麼函式一定是無界的。
8樓：匿名使用者
收斂就是說數列有極限。
“極限”是數學中的分支——微積分的基礎概念，廣義的“極限”是指“無限靠近而永遠不能到達”的意思。數學中的“極限”指：某一個函式中的某一個變數，此變數在變大（或者變小）的永遠變化的過程中，逐漸向某一個確定的數值a不斷地逼近而“永遠不能夠重合到a”（“永遠不能夠等於a，但是取等於a‘已經足夠取得高精度計算結果）的過程中，此變數的變化，被人為規定為“永遠靠近而不停止”、其有一個“不斷地極為靠近a點的趨勢”。
極限是一種“變化狀態”的描述。此變數永遠趨近的值a叫做“極限值”（當然也可以用其他符號表示）。
可定義某一個數列的收斂：
設為一個無窮實數數列的集合。如果存在實數a，對於任意正數ε （不論其多麼小），總存在正整數n，使得當n>n時，均有這個不等式，那麼就稱常數a是數列 的極限，或稱數列 收斂於a。
注意：擺動數列是沒有極限的。
無窮常數數列的極限為這個數本身，這個極限是可以達到的。
9樓：我曾經任性過
收斂是指函式有極限，極限乃微積分中的基礎概念，它指的是變數在一定的變化過程中，從總的來說逐漸穩定的這樣一種變化趨勢以及所趨向的值（極限值）。極限的概念最終由柯西和魏爾斯特拉斯等人嚴格闡述。在現代的數學分析教科書中，幾乎所有基本概念（連續、微分、積分）都是建立在極限概念的基礎之上。
ps1：有界集：
設在r中有一個集合a，如果存在正數m<∞：
|x-y|≤m，其中任意x,y∈a；
就稱a為有界集，即a是有界的
函式的有界性與其他函式性質（函式的性質：有界性，單調性，週期性，連續性，可積性。）之間的關係
閉區間上的單調函式必有界。其逆命題不成立。
閉區間上的連續函式必有界。其逆命題不成立。
閉區間上的可積函式必有界。其逆命題不成立。
極限和導數關係密切,而關於函式的導數和連續有比較經典的四句話：
1、連續的函式不一定可導.
2、可導的函式是連續的函式.
3、越是高階可導函式曲線越是光滑.
4、存在處處連續但處處不可導的函式.（比如y=|x|）所以可導與連續的關係：可導必連續，連續不一定可導；
可微與連續的關係：可微與可導是一樣的；
可積與連續的關係：可積不一定連續，連續必定可積；
可導與可積的關係：可導一般可積，可積推不出一定可導或者說，每個函式的特性不一樣，就又有各種各樣的極限和有界，在這個前提下，連續才可以被討論和測定
10樓：老村長
首先，收斂和有極限是一個概念。其次，函式收斂能推出它是區域性有界的。【關於這個區域性，如果已知的是x→x0時函式有極限，則這個區域性是指x0的某個δ臨域；如果已知的是x→∞時函式有極限，則這個區域性指的是x>+∞或x<-∞】但是有界不一定能推出收斂（有極限）【如函式f(x)=sinx,它是有界的，但當x→∞時它並不收斂。
】 綜上，收斂<=>有極限 收斂=>有界
11樓：匿名使用者
有界不一定收斂,收斂一定有界。
單調有界連續函式一定收斂
單調函式不一定連續，也不一定有界，
比如y=1/x，單調減， x=0時間斷，無界。
12樓：武雲霞上的青菜
收斂可以推出有界,但有界不能推出收斂,必須使單調有界函式才收斂.
一致連續描述的是一個函式在某區間上的連續程度;,等度連續描述的是一個函式族中所有的函式在某區間上的連續程度,
而收斂是連線函式列與某個函式的橋樑.連續、收斂、在有界閉區間上的關係,並對相應結果給出出證明.
13樓：筱磊這個名字好
可微一定可導,可導一定連續,在二元函式中可微能夠推出偏導數存在,
但偏導數存在不能推出可微.
收斂可以推出有界,但有界不能推出收斂,必須使單調有界函式才收斂.
14樓：露西陌言
如果說兩者是否有界的關係，此時“界”用“度”來替換更為合適
收放有度，適度，得體既是一種收斂，又為連續做了鋪墊、依據。
15樓：匿名使用者
1、如果討論物件為函式，則函式沒有收斂的概念，且要看在什麼區間討論（1）若是有限區間中的[a,b]——連續必有界，有界未必連續；
（2）若是有限區間中的其他區間——連續未必有界，有界未必連續；
（3）若是無限區間，比如（-∞.+∞），那麼——連續未必有界，有界也未必連續。
2、如果討論物件為數列，則數列沒有連續的概念，只有——收斂必有界，有界未必收斂
16樓：精銳崇明張老師
收斂必有界，有界不一定收斂
收斂必連續，連續不一定收斂
連續不一定有界，有界不一定連續
17樓：金牛
大家快點快點快點快點快點**休閒褲大碼倒買倒賣
18樓：平面鏡的假期
好像書上有明確定義 在極限那塊
19樓：化成天下
這個很複雜的：
首先函式與數列分開
我們先定義了數列的
收斂， 然後到函式的收斂
而函式的連續式建立在收斂的定義上的。
至於有界問題，要看是在什麼樣的區域上了。
如果連續函式在閉區間上， 那麼有cantor定理可知函式一直連續，且此時函式有界，
如果區間不是有界的，不一定了，舉個例子了：1／x在 （0,1）開區間： 所以可能無界：這個函式取值（1， infinity）
孫堅 孫權 孫策三者的關係是
孫權是孫策的弟弟，孫權和孫策都是孫堅的兒子。孫堅 155年 191年 字文臺，漢族，吳郡富春 今浙江杭州富陽區 人，春秋時期軍事家孫武的後裔。東漢末年將領 軍閥，三國中吳國的奠基人。史書說他 容貌不凡，性闊達，好奇節 曾參與討伐黃巾軍的戰役以及討伐董卓的戰役。後與劉表作戰時陣亡。因官至破虜將軍，又稱...
孩子是婚姻的第三者嗎，新婚姻法關於第三者
是的，新生兒會佔據媽媽大量的注意力，另外，孩子的父親也會沉浸在新生兒出生的喜悅中，夫妻彼此的關注會減少。孩子不是婚姻的第三者，孩子是給一個家庭增添快樂，是夫妻之間感情的調劑品，是起正向能量作用的。不是，孩子是婚姻裡紐帶，他連結了夫妻之間的感情。有他在，你們的婚姻才能更加的穩固。當然不是！孩子可是夫妻...
我老婆有了第三者後要和我離婚，我覺得這樣的女人不要也罷就同意離婚了，可是過了月她給又我聯絡
小派和寶寶 最好提出法院訴訟，這樣的女人從她有了第三者就不應該相信她，她不僅在精神上傷害了你，而且還傷害了你的自尊，你已經原諒她一次，她不知悔改，第二次又背叛了你對她的信任，還捲走了你的私有財產，為了孩子著想，儘早和她離婚，讓她做孩子的母親只會帶壞孩子，這樣的女人已經不能再信任了，這樣的女人也不值得...