如何解抽象函式

1樓：匿名使用者

一．特殊值法:在處理選擇題時有意想不到的效果。

例1 定義在r上的函式f(x)滿足f (x + y) = f (x) + f ( y )(x，y∈r)，當x<0時，, f (x)>0，則函式f (x)在[a,b]上 ( )

a 有最小值f (a) b有最大值f (b) c有最小值f (b) d有最大值f ( )

分析：許多抽象函式是由特殊函式抽象背景而得到的，如正比例函式f (x)= kx(k≠0)， , , ，可抽象為f (x + y) = f (x) +f (y)，與此類似的還有

特殊函式抽象函式

f (x)= x f (xy) =f (x) f (y)

f (x)=

f (x+y)= f (x) f (y)

f (x)=

f (xy) = f (x)+f (y)

f (x)= tanx f(x+y)=

此題作為選擇題可採用特殊值函式f (x)= kx(k≠0)

∵當x <0時f (x) > 0即kx > 0。.∴k < 0，可得f (x)在[a,b]上單調遞減，從而在[a,b]上有最小值f(b)。

二．賦值法．根據所要證明的或求解的問題使自變數取某些特殊值，從而來解決問題。

例2 除了用剛才的方法外,也可採用賦值法

解:令y = -x，則由f (x + y) = f (x) + f (y) (x，y∈r)得f (0) = f (x) +f (-x)…..①,

再令x = y = 0得f(0)= f(0)+ f(0)得f (0)=0，代入①式得f (-x)= -f(x)。

得 f (x)是一個奇函式，再令，且。

∵x <0，f (x) >0，而 ∴ ，則得，

即f (x)在r上是一個減函式，可得f (x)在[a,b]上有最小值f(b)。

例3 已知函式y = f (x)(x∈r，x≠0)對任意的非零實數，，恆有f( )=f( )+f( ),

試判斷f(x)的奇偶性。

解：令 = -1， =x，得f (-x)= f (-1)+ f (x) ……①為了求f (-1)的值，令 =1， =-1，則f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令 = =-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) ∴f(-1)=0代入①式得

f(-x)=f(x),可得f(x)是一個偶函式。

三．利用函式的圖象性質來解題：

抽象函式雖然沒有給出具體的解析式，但可利用它的性質圖象直接來解題。

抽象函式解題時常要用到以下結論：

定理1：如果函式y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則函式y=f(x)的圖象關於x= 對稱。

定理2：如果函式y=f(x)滿足f(a+x)=f(b+x)，則函式y=f(x)是一個周期函式，週期為a-b。

例4 f(x)是定義在r上的偶函式，且f(x)=f(2-x)，證明f(x)是周期函式。

分析：由 f(x)=f(2-x)，得 f(x)的圖象關於x=1對稱，又f(x)是定義在r上的偶函式，圖象關於y軸對稱，根據上述條件，可先畫出符合條件的一個圖，那麼就可以化無形為有形，化抽象為具體。從圖上直觀地判斷，然後再作證明。

由圖可直觀得t=2,要證其為周期函式，只需證f (x) = f (2 + x)。

證明：f (x) = f (-x) = f [2-(-x)] = f (2 + x)，∴ t=2。

∴f (x)是一個周期函式。

例5 已知定義在[-2，2]上的偶函式，f (x)在區間[0，2]上單調遞減，若f (1-m)

分析：根據函式的定義域，-m，m∈[-2,2]，但是1- m和m分別在[-2，0]和[0，2]的哪個區間內呢？如果就此討論，將十分複雜，如果注意到偶函式，則f (x)有性質f（-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一場大規模討論。

解：∵f (x)是偶函式， f (1-m)

2樓：匿名使用者

緊抓住函式的定義，（增減性，奇偶性，特殊值，極值等等函式的特性）

3樓：匿名使用者

我們把沒有給出具體解析式的函式稱為抽象函式。由於這類問題可以全面考查學生對函式概念和性質的理解，同時抽象函式問題又將函式的定義域，值域，單調性，奇偶性，週期性和圖象集於一身.