1樓：匿名使用者
如果p是素數,並且p≡3(mod 4),那麼[(p-1)/2]!≡±1(mod p),證明過程
證：由威爾遜(wilson)定理，
(p-1)!≡-1(mod p), 以下用==表同餘。
其中各乘項(分別為1,2,…, p-1) 構成素數p的縮剩餘系(或簡化剩餘系，既約剩餘系，簡稱縮系)。
易見，在縮系的各個剩餘類中各取一個代表元，所構成的代表元的連乘積==-1 mod p.
易見可取這些代表元為 ±1,±2,...,±(p-1)/2, 於是連乘得到
(-1)^[(p-1)/2)]* ([(p-1)/2]!)^2==-1(mod p),
又p=3 mod 4,故(-1)^[(p-1)/2)]=(-1)^(1+2t)=-1
([(p-1)/2]!)^2==1 mod p
故[(p-1)/2]!==±1(mod p),得證。
例如由wilson 定理得
6!==-1 mod 7 ==1,2,3,-3,-2,-1之積, 從而 (3!)^2 == 1 mod 7
驗證了題目的結論：
當p=4k+3，([(p-1)/2]!)^2==1 mod p, [(p-1)/2]!==±1(mod p)
外一則，同理，
當p=4k+1時，([(p-1)/2]!)^2==-1 mod p.
如4!==-1 mod 5 == 1,2,-2,-1 之積, 從而 (2!)^2 == -1 mod 5
2樓：
wilson定理說的是
(p-1)!≡-1(mod p)
而±1,±2,...,±(p-1)/2也是模p的完全剩餘系，故它們乘起來同餘於(p-1)!
故(-1)^[(p-1)/2)]*[(p-1)/2]!≡-1(mod p)
而p≡3(mod 4)，所以(-1)^[(p-1)/2)]=-1故[(p-1)/2]!≡1(mod p)
證明：若p為素數且p≡1(mod 4),則{[（p-1)/2]!}^2+1≡0(mod p),請大師幫幫忙，謝謝！
3樓：匿名使用者
這是著名的euler準則的一部分。
對任意整數1<=i<=p-1,總存在惟一的整數j有回i*j用p除餘數為b，由於答b是p的二次非剩餘,故i不等於j，因此1,2,…,p-1分為(p-1)/2對，每對之積同餘b，故有
(p-1)! 同餘b^((p-1)/2),由wilson定理可知(p-1)!又同餘-1，故得b^((p-1)/2)=-1 (mod p)
證明當p是奇素數時,有1^p+2^p+3^p+···+(p-1)^(p-1)與0模p同餘
4樓：匿名使用者
你題目來打錯了！是(p-1)^p，否源則都沒有規律了！
利用費馬小定bai律。因為
5樓：匿名使用者
^2^p-2≡0(modp),2^p-1≡1(modp).設
抄2^p-1=a*q,其中q是2^p-1的任一奇質數.則有q≡1(modp),從而a*q≡1(modp),2^p-1≡1(modp).又設q=np+1,假設n≠2m(其中n,m均是自然數),則q-1不能被2整除,則q是偶數.
由2^p-1=a*q知不可能!因為1不能被2整除!這不可能.
得n=2m,q=np+1,即q=2mp+1,
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