1樓：
先求出sin18°的值
那麼∠a=∠mba=∠nca=36°,∠bnc=∠bmc=∠b=∠c=72°,am=bm=an=cn=bc
由角平分線性質
am/mc=ab/bc
即bc/(ab-bc)=ab/bc
解得bc=(√5-1)/2ab
那麼sin18°=bc/2ab=(√5-1)/4cos18°=√(10+2√5)/16
cos12°=cos(30°-18°)
=√3/2cos18°+1/2sin18°=1-2sin^26°
解得sin6°^2=(36-4√5-2√(120+24√5))/64令36-4√5-2√(120+24√5)=(√x+√y)^2那麼x+y=36-4√5
xy=120+24√5
所以(x-y)^2=(x+y)^2-4xy=1376-288√5-480-96√5
=896-384√5
=64(14-6√5)
=64(3-√5)^2
所以x-y=8(3-√5)
聯立x+y=36-4√5
解得x=30-6√5
y=6+2√5
所以sin6°
=(√x+√y)/8
=(√(30-6√5)+√(6+2√5))/8得證
2樓：匿名使用者
(1)先計算出18°的正弦餘弦值
根據sin3x=3sinx-4(sinx)＾3(利用sin3x=sin(2x+x)去化簡,不明白你再問)
∵sin54°=3sin18°-4(sin18°)^3.
cos36°=1-2(sin18°)^2.
而sin54°=sin(90°-36°)=cos36°.
∴3sin18°-4(sin18°)^3=1-2(sin18°)^2.
即4(sin18°)^3-2(sin18°)^2-3sin18°+1=0
配項得4[(sin18°)^2](sin18°-1)+2sin18°(sin18°-1)-(sin18°-1)=0.
提公因式得(sin18°-1)[4(sin18°)^2+2sin18°-1]=0.
由sin18°-1=0,得sin18°=1(捨去).
由4(sin18°)+2sin18°-1=0,
得sin18°=[-2±√(4+16)]/8=(-2±2√5)/8=(-1±√5)/4.
∵sin18°>0,
∴負根捨去,
得sin18°=(√5-1)/4.
(2)計算出36°的正弦餘弦值
cos36°=1-2(sin18°)^2=1-2*((√5-1)/4)^2=(1+√5)/4
sin36°=√(1-sin36°^2)=√(1-((√5+1)/4)^2)=√(10-2√5)/4
(3)計算出6°的正弦值
sin6°=sin(36°-30°)=sin36°cos30°-cos36°sin30°
=√(10-2√5)/4*√3/2-(√5+1)/4 *1/2-
=√(3*(10-2√5))/8-(√5+1)/8
=√(30-6√5))/8-(√5+1)/8
=(√(30-6√5))-(√5+1))/8
看起來後半部分(√5+1)和你的答案√(6+2√5)不一樣,我想了半天
發現其實是相等的,√5+1=√(√5+1)^2=√(6+2√5),呵呵
費了我不少工夫,希望對你有所幫助
補充一點
以前還記得別人用三角形面積邊長公式解答過sin36°
我也寫下來吧
顯然36°,72°,72°的三角形的底邊與腰長之比為(√5-1)/2(**分割數),
所以我們設底邊長為1,則有腰長為(√5-1)/2,
則由海倫-秦九韶公式面積s=p(p-a)(p-b)(p-c)
說明:其中a,b,c為三角形的三條邊長,p=(a+b+c)/2.
p=[2*(√5-1)/2+1]/2=√5/2,a=b=(√5-1)/2,c=1,
s=√=√[√5/2*(1/4)*(√5/2-1)]
=√[(5-2√5)]/4,
又s=ab*sin36°/2,
所以s=[(√5-1)/2]^2*sin36°/2
=(3-√5)*sin36°/4
所以√[(5-2√5)]/4=(3-√5)*sin36°/4,
所以sin36°=√[(5-2√5)]/(3-√5)
=√[(5-2√5)]*(3+√5)/[(3-√5)(3+√5)]
=√/4
=√[(5-2√5)*(14+2√5)]/4
=[√(10-2√5)]/4.
3樓：帳號已登出
啊sin12=2sin6cos6 cos12=(cos6)^2-(sin6)^2
sin18=sin6cos12+sin12cos6=sin6(cos6)^2-(sin6)^3+2(cos6)^2sin6=3sin6(cos6)^2-(sin6)^3
sin30+sin6=2sin18cos12
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