微分幾何,大哥們幫幫忙

1樓：閃颯

(一)傅立葉反變換重建

傅立葉反變換重建法是一種重要的變換重建方法。它主要包括以下三個步驟：①建立數學模型，其中已和未知量都是連續實數的函式；②利用反變換公式解未知量；③調節反變換公式以適應離散、有噪聲應用的需求。

注意上面第二步中在解未知量時理論上可以有多個等價的公式來解。而第三步中，由於離散化時可採用不同的近似，所以理論上等價的方法對實際資料應用的結果會不同。在具體應用中，所測量到的資料對應於許多個離散點（s，θ）上的估計值g（s，θ），而所重建的影象也是一個離散的陣列。

設在s和θ上都均勻取樣的情況。考慮在n個相差△θ的角度上的投影，在每個角上用m個間距為△s的射線測量，定義整數m+和m-為：�

（6.181）

為了保證一系列射線｛（m△s，n△θ）：m�-≤m≤m+，1≤n≤n}覆蓋單位圓，需要選△θ=π/n和△s=1／m+。此時g（m△s，n△θ）為平行投影的射線資料。

設影象區被一個直角網格覆蓋，其中k+和k-用類似於式（6.181）的方法定義（k為x方向上的點數），l+和l-也用類似於式（6.181）的方法定義（l為y方向上的點數）。

根據這些定義，一個重建演算法就是要通過m×n個測量值g（m△s，n△θ）估計出在k×l個取樣點的f（k△x，l△y）。

1.傅立葉變換投影定理變換方法的基礎是傅立葉變換投影定理。設g（r，θ）是g（s，θ）對應第一個變數s的一維傅立葉變換，即

（6.182）

f（x，y）是f（x，y）的二維傅立葉變換：

（6.183）

那麼可以證明如下投影定理

g（r，θ）=f（rcosθ，rsinθ）（6.184）

即f（x，y）以θ角進行投影的傅立葉變換等於f（x，y）的傅立葉變換在傅立葉空間（r，θ）處的值。換句話說，f（x，y）在與x軸成θ角的直線上投影的傅立葉變換是f(x，y）的傅立葉變換在朝向角θ上的一個截面。

2.傅立葉反變換重建公式根據傅立葉變換投影定理很容易就可以得到傅立葉反變換重建的公式。對式（6.184）兩邊在直角座標系中取傅立葉反變換

（6.185）

注意到g（·）是g（·）的傅立葉變換，所以上式是給出g（s，θ），計算f（x，y）的一個重建公式。這也是第一個在投影重建中得到應用的技術。實用中需要加一個窗，以把積分割槽限制在傅立葉xy平面上的一個有限區域w，這樣得到f（x，y）的一個帶限逼近fw（x，y）。

（6.186）

現在考慮計算g（·）。實際中g（·）只在一系列θ=θn角取值（θn代表nδθ）。g（r，θn）可用在一系列取樣點（mδs，θn）對g（·）的求和得到。

如果令r=kδr（k為整數，δr為取樣），取δr=1／（mδs），則

g∑（δr，θ△n）=δs（mδs，θn）exp〔-j2π（mδs）〕（6.187）

根據g∑（kδr，θn）可對任意的（x，y）插值出g（x2＋y2）1/2，arctgy\x。然後由式（6.186）可知

（6.188）

於是fw（x，y）可由下式確定

（6.189）

進一步，如果令△x=1/（u△x），△y=1／（v△y），則

（6.190）

圖6-134右半部給出在（傅立葉）xy平面上的（k△r，θn）位置，用「·」表示。在這些取樣位置上可用式（6.187）計算g。

這些點在平面上形成一個極座標模式，各點在極座標系中是等距分佈的。左半部中「+」點表示位置（u△x，υ△y），需要知道這些點的傅立葉變換以根據式（6.190）計算fw，（u△x，υ△y）。

這些點在平面上形成一個直角座標網格。可根據在極座標系中的已知值進行插值以得到這些網格點的估計值。上式只給出有限個（u個k，v個l）估計值fw（k△x，l△y）。

對這些引數的雙重求和可用fft快速計算。圖6-134（a）右半部的極座標模式對傅立葉平面的取樣不是很有效，一種可能的改進辦法是採用圖6-134（b）的模式。�

圖6-134傅立葉空間的直角和極座標網路

基於傅立葉反變換的重建技術主要有三個步驟：①對以角θn（n=1，2，…，n）的投影進行一維傅立葉變換；②在傅立葉空間從極座標向直角座標插值；③進行二維傅立葉反變換以得到重建影象，由於第三步需要用到二維變換，所以不能根據所獲得的部分投影資料重建影象，而必須在獲得全部投影資料後才能再重建影象。

2樓：匿名使用者

題目做好了，在你郵箱裡