1樓：匿名使用者
求定積分【0，1】∫t√(1+t²+t⁴)dt
解：原式=【0，1】(1/2)∫√(1+t²+t⁴)d(t²)=【0，1】(1/2)∫√[(t²+1/2)²+3/4]d[t²+(1/2)]
【令t²+1/2=u；則當t=0時u=1/2；t=1時u=3/2；代入得】
=【1/2，3/2】(1/2)∫√(u²+3/4)du=(1/2)【1/2，3/2】
=【1/2，3/2】
=-=(1/8)[3(√3)-1]+(3/16)ln[(3+2√3)/3]
【其中用了積分公式：∫√(u²+a²)du=(u/2)√(u²+a²)+(a²/2)ln[u+√(u²+a²)]】
2樓：
t^2=u
∫(0,1) t√(1+t^2+t^4)dt=(1/2)∫(0,1) √(1+u+u^2)du=(1/2)∫(0,1) √(u+1/2)^2+3/4)du (用積分表√(u^2+a^2)du
=(1/2)|(0,1)
代入上下限即可
求∫t^2/(1+t^4) dt
3樓：丘冷萱
哈哈，今天第三次做這個題了。你將下面的x換成t就行了。
∫ x²/(1+x^4) dx
=(1/2)∫ (x²-1+x²+1)/(1+x^4) dx
=(1/2)∫ (x²-1)/(1+x^4) dx + (1/2)∫ (x²+1)/(1+x^4) dx
分子分同除以x²
=(1/2)∫ (1-1/x²)/(1/x²+x²) dx + (1/2)∫ (1+1/x²)/(1/x²+x²) dx
分子放到微分之後
=(1/2)∫ 1/(1/x²+x²) d(x+1/x) + (1/2)∫ 1/(1/x²+x²) d(x-1/x)
=(1/2)∫ 1/(1/x²+x²+2-2) d(x+1/x) + (1/2)∫ 1/(1/x²+x²-2+2) d(x-1/x)
=(1/2)∫ 1/[(x+1/x)²-2] d(x+1/x) + (1/2)∫ 1/[(x-1/x)²+2] d(x-1/x)
=(√2/8)ln|(x+1/x-√2)/(x+1/x+√2)| + (√2/4)arctan[(x-1/x)/√2] + c
=(√2/8)ln|(x²+1-√2x)/(x²+1+√2x)| + (√2/4)arctan[(x-1/x)/√2] + c
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求∫√（1+t＾2）dt的定積分
4樓：小小芝麻大大夢
∫√(1+t^2) dt= t√(1+t^2) /2 + 1/2ln+ c。c為積分常數。
解答過程如下：
令t=tan[x]
∫√(1+t^2) dt
= ∫sec[x]d(tan[x])
= sec[x]tan[x] - ∫tan[x]d(sec[x])
= sec[x]tan[x] - ∫tan[x](tan[x]sec[x])dx
= sec[x]tan[x] - ∫(sec[x]sec[x]-1)sec[x]dx
= sec[x]tan[x] - ∫sec[x]d(tan[x])dx + ∫sec[x]dx
所以∫sec[x]d(tan[x]) =1/2sec[x]tan[x]+ 1/2∫sec[x]dx
其中∫sec[x]dx = ∫sec[x]/ dx
= ∫d/
= ln
所以∫sec[x]d(tan[x]) =1/2sec[x]tan[x]+ 1/2ln + c
代回得：
∫√(1+t^2) dt
= t√(1+t^2) /2 + 1/2ln+ c
擴充套件資料：
常用積分公式：
1）∫0dx=c
2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c
3）∫1/xdx=ln|x|+c
4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5）∫e^xdx=e^x+c
6）∫sinxdx=-cosx+c
7）∫cosxdx=sinx+c
8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c
9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c
10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c
11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c
12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c
求不定積分的方法：
第一類換元其實就是一種拼湊,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是關於f（x）的函式，再把f（x）看為一個整體，求出最終的結果。（用換元法說，就是把f（x）換為t，再換回來）。
分部積分，就那固定的幾種型別，無非就是三角函式乘上x，或者指數函式、對數函式乘上一個x這類的，記憶方法是把其中一部分利用上面提到的f『（x）dx=df（x）變形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx這樣的公式，當然x可以換成其他g（x）。
5樓：玲玲幽魂
令t=tan[x],
∫√(1+t^2) dt
= ∫sec[x]d(tan[x])
= sec[x]tan[x] - ∫tan[x]d(sec[x])
= sec[x]tan[x] - ∫tan[x](tan[x]sec[x])dx
= sec[x]tan[x] - ∫(sec[x]sec[x]-1)sec[x]dx
= sec[x]tan[x] - ∫sec[x]d(tan[x])dx + ∫sec[x]dx
所以∫sec[x]d(tan[x]) =1/2sec[x]tan[x]+ 1/2∫sec[x]dx
其中∫sec[x]dx = ∫sec[x]/ dx
= ∫d/
= ln
所以∫sec[x]d(tan[x]) =1/2sec[x]tan[x]+ 1/2ln + c
代回得,
∫√(1+t^2) dt
= t√(1+t^2) /2 + 1/2ln+ c
求1 t 2）dt的定積分，求sin根號 1 t 2 dt的不定積分
小小芝麻大大夢 1 t 2 dt t 1 t 2 2 1 2ln c。c為積分常數。解答過程如下 令t tan x 1 t 2 dt sec x d tan x sec x tan x tan x d sec x sec x tan x tan x tan x sec x dx sec x tan ...
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