1樓：丘冷萱
用曲面方程來化簡被積函式
∫∫(x+y+z+1)^2ds
=∫∫1ds
被積函式為1，積分結果為曲面面積，也就是一個球面面積4πr²，本題結果為4π
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2樓：匿名使用者
解：∵x²+y²+z²=1 ==>z=±√(1-x²-y²)
令s1：z=√(1-x²-y²)，s2：z=-√(1-x²-y²)。則s1和s2在xoy平面上的投影都是圓s：x²+y²=1
∴球面∑=s1+s2
∵αz/αx=±(-x/√(1-x²-y²))，αz/αy=±(-y/√(1-x²-y²))
∴ds=√(1+(αz/αx)²+(αz/αx)²)dxdy=dxdy/√(1-x²-y²)
故∫∫<∑>(x+y+z+1)²ds=∫∫(x+y+z+1)²ds+∫∫(x+y+z+1)²ds
=∫∫(x+y+√(1-x²-y²)+1)²dxdy/√(1-x²-y²)+∫∫(x+y-√(1-x²-y²)+1)²dxdy/√(1-x²-y²)
=∫∫[(x+y+√(1-x²-y²)+1)²+(x+y-√(1-x²-y²)+1)²]dxdy/√(1-x²-y²)
=4∫∫(xy+x+y+1)dxdy/√(1-x²-y²)
=4∫<0,2π>dθ∫<0,1>[r²sinθcosθ+r(sinθ+cosθ)+1]rdr/√(1-r²) (作極座標變換)
=4∫<0,2π>[sin(2θ)/3+π(sinθ+cosθ)/4+1]dθ (中間運算省約)
=4*(2π)
=8π。
求大神啊!!!!!!高等數學問題：設∑為球面x^2+y^2+z^2=1,則對面積的曲面積分∫∫(x^2+y^2+z^2)ds=?
3樓：匿名使用者
。。。樓主你想複雜了吧。
在球面上有
1 = x^2+y^2+z^2
因而積分項就是1
積分結果就是球面面積。4*pi
4*3.141592653…
設∑是球面x^2+y^2+z^2=4,則曲面積分∮∫（x^2+y^2+z^2)ds=
4樓：武大
高數曲面積分 ，設∑是球面x^2+y^2+z^2=a^2,則曲面積分(x+y+z)^2ds=?
原式=∫∫(x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz)ds=∫∫(x²+y²+z²)ds+∫∫2xyds+ ∫∫2yz ds+∫∫ 2xzds
=∫∫a ²ds +0+0+0
=a² •4πa²
=4πa^4
注：1、∫∫(x²+y²+z²)ds=∫∫a ²ds （利用曲面積分可將曲面方程代入）
2、∫∫2xyds+ ∫∫2yz ds+∫∫ 2xzds=0+0+0 （利用曲面積分的對稱性）
5樓：
∫∫4.2/（4-x^2-y^2）^1/2dxdy這一步應該找到積分割槽域，就是球面在xoy平面的投影，即x^2+y^2=4.
用極座標令x=rcosθ，y=rsinθ則-π≤θ≤π，0≤r≤2，dxdy=rdrdθ，代入積分就可以。
而在球面x^2+y^2+z^2=4,顯然有x^2+y^2+z^2=4成立，故∫∫（x^2+y^2+z^2)ds=∫∫4ds。因為積分是在球面上進行的，而不是在求面所包含的區域內進行。
6樓：榆錢一枚
直接代入原式等於4倍的球的表面積，即64π。
7樓：匿名使用者
極座標x=rcosθ
y=rsinθ
z=zdxdydz=rdrdθdz
球座標x=rsinθcosφ
y=rsinθsinφ
z=rcosθ
dxdydz=r^2sinθdrdθdφ
設∑為上半球面x^2+y^2+z^2=1(z>=0)則對面積的曲面積分∫∫ds=？
8樓：匿名使用者
同學，這個被積來
函式為1呀，
那麼結源果就是相當於求上半球面的面積了。
球體的面積公式是什麼？
是4π*r的平方。
只有上半球面，而半徑r=1，於是結果是2π了。
你用1l的方法得出的結果也是一樣的，不過就會繁雜很多！
要理解曲面積分的本質哪，不能見題目就套公式！@
9樓：麼辛麼
先化成∫∫（x^2+y^2）/(1-x^2-y^2)
就把他投影到xoy平面上在利用極座標運算
高數曲面積分 ，設∑是球面x^2+y^2+z^2=a^2,則曲面積分(x+y+z)^2ds=?
10樓：夢色十年
4πa^4。
原式=∫∫
(x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz)ds=∫∫(x²+y²+z²)ds+∫∫2xyds+ ∫∫2yz ds+∫∫ 2xzds
=∫∫a ²ds +0+0+0
=a² •4πa²
=4πa^4
注：1、∫∫(x²+y²+z²)ds=∫∫a ²ds （利用曲面積分可將曲面方程代入）
2、∫∫2xyds+ ∫∫2yz ds+∫∫ 2xzds=0+0+0 （利用曲面積分的對稱性）
11樓：匿名使用者
^高數曲面積分 ，設∑是球面x^2+y^2+z^2=a^2,則曲面積分(x+y+z)^2ds=?
原式=∫∫(x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz)ds=∫∫(x²+y²+z²)ds+∫∫2xyds+ ∫∫2yz ds+∫∫ 2xzds
=∫∫a ²ds +0+0+0
=a² •4πa²
=4πa^4
注：1、∫∫(x²+y²+z²)ds=∫∫a ²ds （利用曲面積分可將曲面方程代入）
2、∫∫2xyds+ ∫∫2yz ds+∫∫ 2xzds=0+0+0 （利用曲面積分的對稱性）
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