1樓：
所謂射影，就是正投影。直角三角形射影定理（又叫歐幾里德(euclid)定理）：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。
每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。
公式: 如圖，rt△abc中，∠abc=90°，bd是斜邊ac上的高，則有射影定理如下：
（1）(bd)^2=ad·dc， （2）(ab)^2=ad·ac ， （3）(bc)^2=cd·ca 。
等積式 （4）ab×bc=ac×bd(可用「面積法」來證明）
直角三角形射影定理的證明
[射影定理簡圖(幾何畫板)]
射影定理簡圖(幾何畫板)
：（主要是從三角形的相似比推算來的） 一、
在△bad與△bcd中，∵∠abd+∠cbd=90°，且∠cbd+∠c=90°，
∴∠abd=∠c，
又∵∠bda=∠bdc=90°
∴△bad∽△cbd
∴ ad/bd=bd/cd
即bd^2=ad·dc。其餘同理可得可證
注：由上述射影定理還可以證明勾股定理。
有射影定理如下：
ab^2=ad·ac，bc^2=cd·ca
兩式相加得：
ab^2+bc^2=ad·ac+cd·ac =（ad+cd)·ac=ac^2 .
即ab^2+bc^2=ac^2（勾股定理結論）。
二、已知:三角形中角a=90度,ad是高.
用勾股證射影
∵ad^2=ab^2-bd^2=ac^2-cd^2,
∴2ad=ab+ac-bd-cd=bc-bd-cd=(bd+cd)-(bd+cd)=2bd×cd.
故ad=bd×cd.
運用此結論可得:ab=bd+ad=bd+bd×cd=bd×(bd+cd) =bd×bc, ac=cd+ad=cd+bd×cd=cd(bd+cd)=cd×cb.
綜上所述得到射影定理。同樣也可以利用三角形面積知識進行證明。
編輯本段任意三角形射影定理
任意三角形射影定理又稱「第一餘弦定理」：
△abc的三邊是a、b、c，它們所對的角分別是a、b、c，則有
a=b·cosc+c·cosb，
b=c·cosa+a·cosc，
c=a·cosb+b·cosa。
注：以「a=b·cosc+c·cosb」為例，b、c在a上的射影分別為b·cosc、c·cosb，故名射影定理。
證明1：設點a在直線bc上的射影為點d，則ab、ac在直線bc上的射影分別為bd、cd，且
bd=c·cosb，cd=b·cosc，∴a=bd+cd=b·cosc+c·cosb. 同理可證其餘。
證明2：由正弦定理，可得：b=asinb/sina，c=asinc/sina=asin(a+b)/sina=a(sinacosb+cosasinb)/sina
=acosb+(asinb/sina)cosa=a·cosb+b·cosa. 同理可證其它的。
編輯本段射影定理 - 面積射影定理
面積射影定理：「平面圖形射影面積等於被射影圖形的面積s乘以該圖形所在平面與射影面所夾角的餘弦。」
cosθ=s射影/s原
(平面多邊形及其射影的面積分別是s原,s射影,它們所在平面所成銳二面角的為θ)
證明思路：因為射影就是將原圖形的長度（三角形中稱高）縮放，所以寬度是不變的，又因為平面多邊形的面積比=邊長的平方比。所以就是圖形的長度（三角形中稱高）的比。
那麼這個比值應該是平面所成角的餘弦值。在兩平面中作一直角三角形，並使斜邊和一直角邊垂直於稜（即原多邊形圖的平面和射影平面的交線），那麼三角形的斜邊和另一直角邊就是其多邊形的長度比，即為平面多邊形的面積比，而將這個比值放到該平面三角形中去運算，即可。
2樓：魔法qq龍
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