1樓：匿名使用者
sn=1²+2²+....+n²， 是用立方來求和的。
記tn=1+2+...+n=n(n+1)/2
由立方差公式：(n+1)³-n³=3n²+3n+1
代入n=1, 2, ...,n得：
2³-1³=3*1²+3*1+1
3³-2³=3*2²+3*2+1
(n+1)³-n³=3n²+3n+1
以上n個式子相加得：
(n+1)³-1=3sn+3tn+n
化簡即得：sn=n(n+1)(2n+1)/6
擴充套件資料
常見數列求和的方法：
1、公式法：
等差數列求和公式:
sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
等比數列求和公式：
sn=na1(q=1)sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)
2、錯位相減法
適用題型：適用於通項公式為等差的一次函式乘以等比的數列形式 、分別是等差數列和等比數列.
sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
例如：an=a1+(n-1)d bn=a1·q^(n-1) cn=anbn tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.+anbn
qtn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
tn-qtn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) =a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) tn=上述式子/(1-q)
3、裂項法
適用於分式形式的通項公式,把一項拆成兩個或多個的差的形式,即an=f(n+1)－f(n),然後累加時抵消中間的許多項。
2樓：匿名使用者
1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6n^2=n(n+1)-n
1^2+2^2+3^2+…+n^2=1*2-1+2*3-2+...+n(n+1)-n
=1*2+2*3+..+n(n+1)-(1+2+3+..+n)而n(n+1)=1/3(n(n+1)(n+2)-n(n+1)(n-1))
所以上述=1/3（1*2*3-1*2*0+2*3*4-1*2*3+3*4*5-2*3*4+...+n(n+1)(n+2)-n(n+1)(n-1)）-n(n+1)/2=1/3n(n+1)(n+2)-n(n+1)/2=1/6n(n+1)(2n+4)-1/6n(n+1)*3=n(n+1)(2n+1)/6
3樓：匿名使用者
記tn=n²+(n-1)²+....+2²+1²，
數列sn=n³-(n-1)³，則s(n-1)=(n-1)³-(n-2)³,..........,s2=2³-1³,
sn=2n²+(n-1)²-n，將以上n-1個數列等式相加可得：
n³-1=[2n²+(n-1)²-n]+[2(n-1)²+(n-2)²-(n-1)]+.......+[2*2²+1²-2]
=2[n²+(n-1)²+....+2²]+[(n-1)²+(n-2)²+....+1²]-[n+(n-1）+.....+2]
=2(tn-1)+[tn-n²]+1-n(1+n)/2,
(注，此處tn-1中n是下標，1是自然數，即tn- 1,切誤以為n-1是項數)。
求得tn=n(2n+1)(n+1)/6.
4樓：小飛冊
反過來加一次除與2
1+2=(1+2+2+1)/2=3x2/2
數學題：1的平方加上2的平方……… 20的平方的最簡單的方法是什麼 40
5樓：
1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6證明 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
當n=1時 1=1（1+1)(2*1+1)/6=1 成立假設當n=k時
1^2+2^2+...+k^2=k(k+1)(2k+1)/6成立那麼當n=k+1時
1^2+2^2+...+k^2+(k+1)^2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2=(k+1)(2k^2+k+6k+6)/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
=(k+1)(k+1+1)[2(k+1)+1]/6所以當n=k+1時也成立
所以n對一切自然數 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 都成立
1的平方加上2的平方……… 20的平方
=20*21*41/6
=2870
6樓：小百合
1^2+2^2+3^2+...+20^2
=(1^2+20^2)+(2^2+19^2)+...+(10^2+11^2)
=(1+20)^2-2*1*20+(2+19)^2-2*2*19+...+(10+11)^2-2*10*11
=10*21^2-2*(1*20+2*19+...+10*11)=4410-2*770
=2870
7樓：良駒絕影
公式法。
1²＋2²＋3²＋…＋n²=[n(n＋1)(2n＋1)]/6
則：1²＋2²＋3²＋…＋20²=[20×21×41]/6=2870
8樓：
n(n+1)(2n+1)/6=20*21*41/6=2870
9樓：匿名使用者
有公式：1^1+2^2+3^2+.......n^2=1/6[n(n+1)(2n+1)]
10樓：匿名使用者
公式法：n*(n+1)*(2n+1)/6
原式=20*21*41/6=2870
從1的平方一直加到100的平方是多少
11樓：匿名使用者
1^2=1*2-1
2^2=2*3-2
.....
.....
n^2=n(n+1)-n
由於n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
所以1*2+2*3+...+n(n+1)
=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
[前後消項]
=[n(n+1)(n+2)]/3
所以1^2+2^2+3^2+......+n^2
=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2
=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]
或者數學歸納法..或者
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
(1^2+2^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6
當n=100時(1^2+2^2+...+100^2)=100(100+1)(2*100+1)/6
=100*101*201/6
=50*101*67
=338350
12樓：樂卓手機
1＾2＋2＾2＋．．．．＋100^2=
338350
1＾2＋2＾2＋．．．．＋n^2=
1/6 n (1 + n) (1 + 2 n)
1的平方加2的平方加3的平方一直加到10000的平方是多少
利用立方差公式 n 3 n 1 3 1 n 2 n 1 2 n n 1 n 2 n 1 2 n 2 n 2 n 2 n 1 2 n 2 3 1 3 2 2 2 1 2 2 3 3 2 3 2 3 2 2 2 3 4 3 3 3 2 4 2 3 2 4 n 3 n 1 3 2 n 2 n 1 2 n ...
1的平方一直加到n的平方的和的公式
撒合英蘭昭 利用立方差公式 首先n 3 n 1 3 1 n 2 n 1 2 n n 1 n 2 n 1 2 n 2 n 2 n 2 n 1 2 n 2 3 1 3 2 2 2 1 2 2 3 3 2 3 2 3 2 2 2 3 4 3 3 3 2 4 2 3 2 4 n 3 n 1 3 2 n 2 ...
從1的平方一直加到100的平方是多少
1 2 1 2 1 2 2 2 3 2 n 2 n n 1 n 由於n n 1 n n 1 n 2 n 1 n n 1 3 所以1 2 2 3 n n 1 1 2 3 0 2 3 4 1 2 3 n n 1 n 2 n 1 n n 1 3 前後消項 n n 1 n 2 3 所以1 2 2 2 3 2...