1樓：
這樣做，先把最後一行分別加到前三行上，得到1-a 0 0 a-1
0 1-a 0 a-1
0 0 1-a a-1
a a a 1
再用第一行的a/(1-a)倍消掉最後一行第一列的a，注意到1-a是分母，所以先討論1-a=0的情形，當a=1時，原矩陣秩為1。以下討論均為a不等於1.
將第一行的-a/(1-a)倍加到最後一行，得到1-a 0 0 a
0 1-a 0 a
0 0 1-a a
0 a a 1+a
同樣的，再將第二行、第三行的-a/(1-a)倍加到最後一行，最終得到1-a 0 0 a
0 1-a 0 a
0 0 1-a a
0 0 0 1+3a
此時觀察到最後一行只有1+3a這一非零元素，當a=-1/3時秩為3.
繼續討論下去可以得到剩下的三階矩陣滿秩，就不再贅述了。
所以答案如下當a=-1/3時秩為3，當a=1時，秩為1其餘情況秩為4
2樓：小匯
a不為1則線性無關，滿秩為4，如果等於1則線性相關，秩為1。
題目是什麼？
矩陣的秩只有一個嗎？
3樓：合恩角的風
如果3階子式為0.所有3階以上的子式都是為0的.所以不可能像你說的存在一個不為零的4階子式.
矩陣的秩是唯一的.
可參考:同濟線性代數 第四版 67頁.
設矩陣a=（1 k -1 2；2 -1 k 5；1 10 -6 1），對引數k討論矩陣a的秩 30
4樓：一個人郭芮
1 k -1 2
2 -1 k 5
1 10 -6 1 第1行減去第3行，第2行減去第3行×2～0 k-10 5 1
0 -21 k+12 3
1 10 -6 1
很顯然1 10 -6 1這一行是不可能被消為0的了，而另外兩行之中最多也只能被消去1行，
如果0 k-10 5 1和0 -21 k+12 3中可以被消去1行的話，
那麼肯定某一行是另一行的倍數，
所以(k-10)/(-21)= 5/(k+12)= 1/3，解得k=3有解，
那麼k=3的時候，
矩陣的秩就為2，
k不等於3的時候，
矩陣的秩就為3
這種題目技巧的話，就是用初等變換將原矩陣儘可能化簡，使矩陣成為階梯矩陣，這樣才便於討論
5樓：匿名使用者
r1-r3,r2-3r1
0 k-10 5 1
0 -21 k+12 3
1 10 -6 1
r2-3r1
0 k-10 5 1
0 9-3k k-3 0
1 10 -6 1
這時已經是廣義上的梯矩陣了
若看不出來就交換一下行列
交換行1 10 -6 1
0 k-10 5 1
0 9-3k k-3 0
交換列1 1 10 -6
0 1 k-10 5
0 0 9-3k k-3
所以 k=3 時 r(a)=2. 否則 r(a)=3.
矩陣的秩和其特徵值有什麼關係？ 20
6樓：索馬利亞軍團
為討論方便，設a為m階方陣
證明：設方陣a的秩為n
因為任何矩陣都可以通過一系列初等變換，變成形如
1 0 … 0 … 0
0 1 … 0 … 0
…………………
0 0 … 1 … 0
0 0 … 0 … 0
…………………
0 0 … 0 … 0
的矩陣，稱為矩陣的標準形（注：這不是二次型的對稱矩陣提到的標準形）
本題討論的是方陣，就是可以通過一系列初等行變換的標準形為
主對角線前若干個是1；其餘的是若干個0
以及除對角線以外的元素都是0。設a的標準形為b
因為「m×m階矩陣構成的數域p上的線性空間」與
「該線性空間上的全體線性變換在數域p上的線性空間」同構。
所以研究得到線性空間的性質可以照搬到線性變換空間上應用，
從同構的意義上說，他們是「無差別」的。
（由於線性變換符號的字型不能單獨以花體字型區別，所以
用形如「線性變換a」，表示線性變換
用形如「矩陣a」，表示線性變換的矩陣）
前面知識應該提到的內容：
一系列初等矩陣的乘積是非退化的，初等變換不改變矩陣的秩，初等變換是可逆的
所以矩陣b的秩（1的個數），就是矩陣a的秩，就是n
因為可逆且不改變秩，所以討論矩陣b的情況，可以應用到矩陣a上。
我們隨即看到，
如果線性變換b（或者說矩陣b）的秩是n，則線性變換b就是
對線性空間的前n個基做恆等對映（因為基向量組沒有秩序，我們取前n個不會有原則性的問題）
後m-n個基做零變換，所構成的線性變換，線性變換b的特徵多項式是(λ-1)^n
就可以快速找到n個線性無關的特徵向量，這些特徵向量直接取線性空間的前n個基就可以了。
我們得到的結論是，線性變換b秩是多少，就一定找到有多少個線性無關的特徵向量。
因為一個特徵向量只能屬於一個特徵值，
所以有多少個線性無關的特徵向量，就有多少個特徵值（不管你的特徵值是不是一樣）
這裡有n個1，都是一樣的（從特徵多項式也知道有n個重根）
因為非退化的線性替換不改變空間的維數，不改變矩陣的秩。
下面我們解釋重根為什麼按重數計算，對矩陣b做初等行變換，
第i行乘以數域p上的數k≠1（當然，如果k=1純屬脫褲子放屁），
我們的特徵多項式變為(λ-1)^(n-1)*(λ-k)，
其它初等變換相應類推。
借用學物理的思維，一個變換莫測的關係中，尋找守恆量是什麼？這個是有意義的。
而做這樣的非退化的線性變換變換，雖然特徵值會隨之改變，
但是守恆量是一定能找到n個線性無關的特徵向量，其個數就是矩陣b（線性變換b）的秩是不變的。
這樣我們就發現了守恆量，至於屬於不同特徵向量的特徵值是否相等，純屬巧合，無意義。
有多少個碰巧相等的都無所謂，有多少個相等（相當於特徵多項式的幾次方），就當然重複計算。
最後來一個問題的封閉，題目說的是方陣a
這個簡單，將矩陣b做一系列初等行變換，雖然特徵多項式改變了，線性變換改變了，
特徵多項式也變了，但是我們發現的守恆量n，是不變的。
矩陣的秩與特徵值有什麼關係
7樓：景田不是百歲山
1、方陣a不滿秩等價於a有零特徵值。
2、a的秩不小於a的非零特徵值的個數。
線性變換秩是多少，就一定找到有多少個線性無關的特徵向量。因為一個特徵向量只能屬於一個特徵值，所以有多少個線性無關的特徵向量，就有多少個特徵值（不管特徵值是不是一樣）。這裡有n個1，都是一樣的（從特徵多項式也知道有n個重根）。
因為非退化的線性替換不改變空間的維數，不改變矩陣的秩。
8樓：匿名使用者
這是因為，矩陣a的相似對角矩陣的主對角元都是矩陣a的特徵值，又因為矩陣a的秩與它的相似對角陣的秩相等，因此，如果矩陣a的秩為n，那麼它就有n個非零特徵值。
9樓：匿名使用者
為討論方便，設a為m階方陣
證明：設方陣a的秩為n
因為任何矩陣都可以通過一系列初等變換，變成形如
1 0 … 0 … 0
0 1 … 0 … 0
…………………
0 0 … 1 … 0
0 0 … 0 … 0
…………………
0 0 … 0 … 0
的矩陣，稱為矩陣的標準形（注：這不是二次型的對稱矩陣提到的標準形）
本題討論的是方陣，就是可以通過一系列初等行變換的標準形為
主對角線前若干個是1；其餘的是若干個0
以及除對角線以外的元素都是0。設a的標準形為b
因為「m×m階矩陣構成的數域p上的線性空間」與
「該線性空間上的全體線性變換在數域p上的線性空間」同構。
所以研究得到線性空間的性質可以照搬到線性變換空間上應用，
從同構的意義上說，他們是「無差別」的。
（由於線性變換符號的字型不能單獨以花體字型區別，所以
用形如「線性變換a」，表示線性變換
用形如「矩陣a」，表示線性變換的矩陣）
前面知識應該提到的內容：
一系列初等矩陣的乘積是非退化的，初等變換不改變矩陣的秩，初等變換是可逆的
所以矩陣b的秩（1的個數），就是矩陣a的秩，就是n
因為可逆且不改變秩，所以討論矩陣b的情況，可以應用到矩陣a上。
我們隨即看到，
如果線性變換b（或者說矩陣b）的秩是n，則線性變換b就是
對線性空間的前n個基做恆等對映（因為基向量組沒有秩序，我們取前n個不會有原則性的問題）
後m-n個基做零變換，所構成的線性變換，線性變換b的特徵多項式是(λ-1)^n
就可以快速找到n個線性無關的特徵向量，這些特徵向量直接取線性空間的前n個基就可以了。
我們得到的結論是，線性變換b秩是多少，就一定找到有多少個線性無關的特徵向量。
因為一個特徵向量只能屬於一個特徵值，
所以有多少個線性無關的特徵向量，就有多少個特徵值（不管你的特徵值是不是一樣）
這裡有n個1，都是一樣的（從特徵多項式也知道有n個重根）
因為非退化的線性替換不改變空間的維數，不改變矩陣的秩。
下面我們解釋重根為什麼按重數計算，對矩陣b做初等行變換，
第i行乘以數域p上的數k≠1（當然，如果k=1純屬脫褲子放屁），
我們的特徵多項式變為(λ-1)^(n-1)*(λ-k)，
其它初等變換相應類推。
借用學物理的思維，一個變換莫測的關係中，尋找守恆量是什麼？這個是有意義的。
而做這樣的非退化的線性變換變換，雖然特徵值會隨之改變，
但是守恆量是一定能找到n個線性無關的特徵向量，其個數就是矩陣b（線性變換b）的秩是不變的。
這樣我們就發現了守恆量，至於屬於不同特徵向量的特徵值是否相等，純屬巧合，無意義。
有多少個碰巧相等的都無所謂，有多少個相等（相當於特徵多項式的幾次方），就當然重複計算。
最後來一個問題的封閉，題目說的是方陣a
這個簡單，將矩陣b做一系列初等行變換，雖然特徵多項式改變了，線性變換改變了，
特徵多項式也變了，但是我們發現的守恆量n，是不變的。
10樓：吸血神龍
最佳答案錯了吧，一個特徵值可以對應多個線性無關的特徵向量啊
一個矩陣中有個k，問你當k取何值時矩陣的秩為多少，這種題可以用行列式來做嗎？
11樓：匿名使用者
行列式只能判斷出這個方陣，注意是方陣！是不是r=n，要計算並討論r的值，需要（只）通過行（列）變換將矩陣化為行（列）最簡矩陣，然後討論一下k取不同值的時候矩陣有幾個非零行（列），有幾個非零行（列）r就等於幾
12樓：zzllrr小樂
如果未知數比較少，且矩陣滿足是方陣，可以用行列式來做。
其餘情況，一般用初等行變換，化階梯型，來討論矩陣的秩
13樓：匿名使用者
首先矩陣必須是方陣，不然沒有行列式的概念。
行列式等於0，說明r(a)《行數
行列式不等於0，說明r(a)=行數
14樓：
可以化簡行列式，現討論k的值
人格的問題有興趣的進來討論一下
流浪的兔子 我們從出生開始 上帝就給了我們兩個自己 一個是本我的自己 一個是他我的自己 記住 任何在討論這個問題本身的人 都在讓本我跟 他我對話這是我4年來心理學著作研讀總結的 希望對你有用不要刻意的讓本我接近他我 ps 樓上的那麼多人搜尋來的定義含義 和著作的段落 複製黏貼的確很省事 只不過 多重...
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