1樓：數碼王子胖
擺線(cycloid)是數學中眾多的迷人曲線之一。它是這樣定義的：乙個圓沿一直線緩慢地滾動，則圓上一固定點所經過的軌跡稱為擺線。
乙個圓在一條定直線上滾動時，圓周上乙個定點的軌跡，又稱圓滾線、旋輪線。
圓上定點的初始位置為座標原點，定直線為x軸。當圓滾動j 角以後，圓上定點從 o 點位置到達p點位置。當圓滾動一週，即 j從o變動2π時，動圓上定點描畫出擺線的第一拱。
再向前滾動一週， 動圓上定點描畫出第二拱，繼續滾動，可得第三拱，第四拱……，所有這些拱的形狀都是完全相同的 ，每一拱的拱高為2a(即圓的直徑)，拱寬為2πa(即圓的周長)。
到17 世紀，人們發現擺線具有如下性質：
1.它的長度等於旋轉圓直徑的 4 倍。尤為令人感興趣的是，它的長度是 乙個不依賴於π的有理數。
2.在弧線下的面積，是旋轉圓面積的三倍。
3.圓上描出擺線的那個點，具有不同的速度--事實上，在特定的地方它甚至是靜止的。
4.當彈子從乙個擺線形狀的容器的不同點放開時，它們會同時到達底部。
2樓：媽咪說
為什麼最速降線是擺線？它和費馬原理以及變分法又有啥關係？
如何通俗易懂地解釋最速降線?
3樓：網友
我們知道的最速降線。
其實就是擺線。
只不過在最速降線的問題中，而這條擺線是上、下顛倒過來的。所謂的擺線就是當乙個圓沿一條直線運動時，圓周上的一定點所形成的軌跡，則圓上一固定點所經過的軌跡被稱之為擺線。<>
這個在數學史。
上被稱為「最速降線」的乙個知名問題，其實最早是由著名的義大利科學家伽利略。
在1630 年提出來的。伽利略在他的研究後認為最速降線其實應該是圓弧，但也是可惜的是得出的這個答案並不是正確的。隨著時間的流逝，又過了 60 多年，在1696 年 6 月，一位來自瑞士巴塞爾。
的約翰·伯努利。
在《教師學報》上又重新提出這個問題，並且他向全歐洲的數學家提出了公開挑戰。這是個與眾不同的新觀念，卻又十分容易理解的問題吸引了當時全歐洲的數學家，然而最後能夠給出正確解答的人也都是在數學史上赫赫有名的巨人。這也讓這次挑戰成為了在數學史上最為激動人心的一場公平公正公開的挑戰。
其實在當時的數學家來說對這種曲線並不會感到陌生，在當時帕斯卡。
和惠更斯都曾研究過這一重要的曲線。但是大部分人都還是沒有想到這條線其實是之前人們費盡心思追尋的最速降線。<>
在眾多優秀的數學家之中，約翰的解法應該是最漂亮的解法了。他是利用了費馬原理將小球的運動類比成光線的運動。費馬原理又有其他的名字叫做「最短光時」原理，說的意思就是光線在傳播過程時總會選擇光程非常短的那條路徑。
這樣一來「最速降線」就是在光速隨著高度下降而增加。採用這樣的類比思想，約翰也就成功地算出了這條曲線其實就是前面提到的擺線。
4樓：會飛的豬豬在努力
說白了就是擺線，就是在重力的作用下，從一地到另一地的最短時間。雖然說直線的距離是最短的，但是如果有障礙的話並不是時間最短，最速降線說的就是最短的時間。
5樓：塵一書
簡單來說，就是隻在重力作用下，從一點a走到它斜下方的b的那條時間最短的路徑。ab兩點之間直線距離最短，但並非時間最短，比如從一點出發直接過去，路上有層層障礙，這時可以曲線救國，繞一下應該更快。
6樓：媽咪說
為什麼最速降線是擺線？它和費馬原理以及變分法又有啥關係？
最速降線的詳細原理
7樓：嗨皮圖圖
最速降線的基本原理是兩點之間的最快下降線是乙個鐘形曲線。
1、最速降線，也稱為布魯諾曲線，是一種數學曲線，它是連線兩點之間早譽，使得在重力作用下，物體從起點到終點的時間最短的曲線。最速降線的原理可以用變分法來解釋。
2、變分法是一種數學方法，用於求解函式的極值問題。在最速降線的問題中，需要求解一條曲線，使得從起點到終點的時間最短。假設這條曲線的方程為y=f(x)，可以將求解最速降線的問題轉化為求解乙個函式的極值問題，即求解下面這個積分的最小值。
正叢。<>最速降線在實際生舉睜櫻活中的應用：
1、滑翔傘運動：滑翔傘運動是一種極限運動，它需要運動員從高空跳傘，利用滑翔傘滑翔到地面。在滑翔傘運動中，最速降線被廣泛應用。
運動員需要選擇最佳的滑翔路線，以最小化下降的時間和速度，同時確保安全。
2、火箭發射：火箭發射是一項複雜的工程，需要考慮多種因素，包括重力、空氣阻力、燃料消耗等。在火箭發射中，最速降線被用來確定火箭的軌跡，以最小化燃料消耗和飛行時間，同時確保火箭能夠安全地進入軌道。
3、水利工程：在水利工程中，最速降線被用來設計水壩和水閘的洩洪道。洩洪道需要保證水流能夠快速地流出，以避免水壩或水閘受到過大的壓力。
最速降線可以幫助工程師確定洩洪道的形狀和尺寸，以確保水流能夠快速地流出，同時保證工程的安全性。
為什麼最速降線不存在？
8樓：靜待花開
最速曲線方程推導過程是：
首先，要最快到達，就必須合理分配速度。球如果沿著斜面下降，那麼其加閉梁速度較小（只有重力加速度在斜面方向的投影那麼點大，這個數值太小了），速度沒法很快提上去，耽誤了時間。
如果球直接豎直落地，加速度是最大的，可以很快把速度提上來。但可惜，這種情況，球是永遠到達不了下面這一點。
所以，最佳的情況，就是球儘量沿著豎直方向下降，且必須在運動過程中不斷調整方向，以使球的運動軌跡能夠到達下面那一點。
數學上推出（用變分法），如果球沿著「滾輪線」運動，就能夠滿足上述要求，這就是最速降線。
牛頓證明最速曲線的過程：
從給定點a出發，畫一條平行於水平面的無界直線apcz，在這條直線上描述任意擺線aqp，在q點上與直線ab相交（並在必要時延伸），顫態禪然後另乙個擺線adc的底和高[as ac: ap]應分別為前乙個的底和高茄塵ab到aq。
這條最近的擺線將穿過b點，成為一條曲線，在這條曲線上，乙個重物在自身重量的作用下，最迅速地從a點到達b點。
擺線的最速降線
9樓：元臨
在乙個斜面上，擺兩條軌道，一條是直線，一條是曲線，起點高度以及終點高度都相同。兩個質量、大小一樣的小球同時從起點向下滑落，曲線的小球反而先到終點。這是由於曲線軌道上的小球先達到最高速度，所以先到達。
然而，兩點之間的直線只有一條，曲線卻有無數條，那麼，哪一條才是最快的呢？伽利略與1630年提出了這個問題，當時他認為這條線應該是一條弧線，可是後來人們發現這個答案是錯誤的。1696年，瑞士數學家約翰·伯努利解決了這個問題，他還拿這個問題向其他數學家提出了公開挑戰。
牛頓、萊布尼茲、洛比達以及雅克布·伯努利等解決了這個問題。這條最速降線就是一條擺線，也叫旋輪線。
義大利科學家伽利略在1630年提出乙個分析學的基本問題——「乙個質點在重力作用下，從乙個給定點到不在它垂直下方的另一點，如果不計摩擦力，問沿著什麼曲線滑下所需時間最短。」。他說這曲線是圓，可是這是乙個錯誤的答案。
瑞士數學家約翰．伯努利在1696年再提出這個最速降線的問題（problem of brachistochrone），徵求解答。次年已有多位數學家得到正確答案，其中包括牛頓、萊布尼茲、洛必達和伯努利家族的成員。這問題的正確答案是連線兩個點上凹的唯一一段旋輪線。
旋輪線與1673年荷蘭科學家惠更斯討論的擺線相同。因為鐘錶擺錘作一次完全擺動所用的時間相等，所以擺線（旋輪線）又稱等時曲線。
看johann bernoulli 對最速降線問題的beautiful解答：
如果使分成的層數n無限地增加，即每層的厚度無限地變薄，則質點的運動便趨於空間a、b兩點間質點運動的真實情況，此時折線也就無限增多，其形狀就趨近我們所要求的曲線——最速降線．而折線的每一段趨向於曲線的切線，因而得出最速降線的乙個重要性質：任意一點上切線和鉛垂線所成的角度的正弦與該點落下的高度的平方根的比是常數．而具有這種性質的曲線就是擺線．所謂擺線，它是乙個圓沿著一條直線滾動（無滑動）時，圓周上任意一點的軌跡。
因此，最速降線就是擺線，只不過在最速降線問題中，這條擺線是上、下顛倒過來的罷了．
以上便是johann bernoulli當時所給最速降線問題的解答．當然，這個解答在理論上並不算十分嚴謹的．但是，這個解答所蘊含的基本觀點的發展，導致了一門新的學科——變分學．最速降線問題的最終而完備的解答，需要用到變分學的知識．
10樓：媽咪說
為什麼最速降線是擺線？它和費馬原理以及變分法又有啥關係？
最速降線問題的必要條件
11樓：終極至尊
y =y(x) 使泛函式（取極小值，則 y =y(x) 一定使尤拉－拉格朗日方程式（滿足邊界條件式（的解。
我們把滿足 e-l方程邊值問題的解稱為駐留函式，對應的積分曲線稱為駐留曲線。嚴格地講，e-l方程邊值問題的解滿足變分問題的必要條件，因此它是否是極值函式，還需作進一步的判別。在實際問題中，極值的存在性通常給出問題時已經肯定了，這樣，當乙個實際現象已知其有唯一的極值存在，而這時也只得到乙個駐留函式，則可以判定這個駐留函式就是極值函式。
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