1樓：匿名使用者
立體的體積是π/2。
v=4∫【d】∫（1-x^2-y^2)dσ
=4∫【0→1】[∫（【0→√（1-y^2)】（1-x^2-y^2)dx]dy
=4∫[【（0→1】）∫【0→√（1-y^2)】[x-x^3/3-xy^2)dy]
=4∫[【（0→1】）[√（1-y^2)-(1-y^2)^(3/2)-y^2√（1-y^2)]dy
設y=sint,dy=costdt,y=0,t=0,y=1,t=π/2，
原式=4∫【0→π/2】[cost-(cost)^3-(sint)^2(cost)]costdt
=8/3∫【0→π/2】[(cost)^4dt
=(8/3)∫【0→π/2】[(1+cos2t)/2]^2dt
=(8/3)∫【0→π/2】[(1/4+cos2t+(1+cos4t)/8]dt
=(8/3)[t/4+sin2t/2+t/8+(sin4t)/32)【0→π/2】
=(8/3)[(3/8)*π/2+0+0]
=π/2
計算方法
長方體：長方體體積=長×寬×高
正方體：正方體體積=稜長×稜長×稜長
圓柱（正圓）：圓柱（正圓）體積=圓周率×(底半徑×底半徑)×高
以上立體圖形的體積都可歸納為：底面積×高
圓錐（正圓）：圓錐（正圓）體積=圓周率×底半徑×底半徑×高/3
角錐：錐體積=底面積×高/3
2樓：浪裡小青魚
v=4∫【d】∫（1-x^2-y^2)dσ
=4∫【0→1】[∫（【0→√（1-y^2)】（1-x^2-y^2)dx]dy
=4∫[【（0→1】）∫【0→√（1-y^2)】[x-x^3/3-xy^2)dy]
=4∫[【（0→1】）[√（1-y^2)-(1-y^2)^(3/2)-y^2√（1-y^2)]dy
設y=sint,dy=costdt,y=0,t=0,y=1,t=π/2，
原式=4∫【0→π/2】[cost-(cost)^3-(sint)^2(cost)]costdt
=8/3∫【0→π/2】[(cost)^4dt
=(8/3)∫【0→π/2】[(1+cos2t)/2]^2dt
=(8/3)∫【0→π/2】[(1/4+cos2t+(1+cos4t)/8]dt
=(8/3)[t/4+sin2t/2+t/8+(sin4t)/32)【0→π/2】
=(8/3)[(3/8)*π/2+0+0]
=π/2
擴充套件資料
稜柱體表面積：s=s側+ 2*s底
圓柱體表面積：s=u底*h + 2πr^2=2πr*h + 2πr^2
（“u底”為底面圓的周長，r為底面圓的半徑）
稜錐體表面積：s=n*s側(三角形) + s底（n為稜錐的斜稜條數，即側面數）
圓錐體表面積：s=s扇 + s底=1/2*l(母線)*2πr + πr^2
稜臺體表面積：s=n*s側(梯) + s上底 + s下底（n為稜錐的稜條數，即側面數）
圓臺體表面積：s=s側(扇環) + s上底 + s下底=π(r^2+r^2+rl+rl)=πr^2+πr^2+πrl+πrl
注：設r為上底半徑，r為下底半徑，l為圓臺母線；虛設a 為小扇形母線，則大扇形母線長為（a+l）
3樓：匿名使用者
由旋轉拋物面的性質,所圍體積等於y=x²圍繞y軸旋轉所得體積,積分割槽域x（0,1） v=∫πx²dy=
2∫πx³dx=π/2
求由旋轉拋物曲面z=x^2+y^2與平面z=1所圍成的立體的體積 詳細過程 謝謝
4樓：匿名使用者
很簡單的積
分抄，z從0到1，立體垂直於z軸的截面為圓，半徑r^2=x^2+y^2,
面積s=πr^2=π（x^2+y^2）=πz.
所以v=s（z）從0到1的積分，所以v=πz^2/2|(0,1)=π/2-0=π/2
好吧 就用旋轉拋物面...1樓正確
5樓：妙酒
由旋轉拋物面的性質，所圍體積等於y=x²圍繞y軸旋轉所得體積，積分割槽域x（0，1） v=∫πx²dy=
2∫πx³dx=π/2
求由拋物面z=x²+y²座標平面和平面x+y=1所圍立體的體積
6樓：
座標平面有3個，圍成卦限。z=x²十y²是開口向上的頂點在原點，對稱軸z的旋轉拋物面。
x十y=1在xoy平面是一直線，過點x=0，y=1，x=1，y=0在空間就是通過這個直線的豎直平面。
立體就是拋物面之下，第一卦限部分x十y=1以內部分。一個拋物頂截頂三稜柱。
7樓：不知不解無知
設t=1-x，t=1~0，
x=1-t，dx=-t，代入
=∫(1，0)[(1-t)^2t十t³/3](-dt)
求由旋轉拋物曲面z=x^2+y^2與平面z=1所圍成的立體α的質心 20
8樓：劉煜
記住公式，求解三重積分就可以了
我提供了兩種計算方法，望採納～
計算由曲面z=x^2+y^2,三個座標面及平面x+y=1所圍立體的體積,答案是1/6,要解題過程！
9樓：匿名使用者
此題有問題！z=x²+y²是將xoz平面裡的拋物線 x²=z 繞z軸旋轉而成的旋轉拋物面，用平行於xoy座標面的平面z=h去截它，其截痕都是x²+y²=h的園；該旋轉拋物面沿z軸的正向可以無限延伸；x+y=1是含xoy平面內的直線x+y=1且垂直於xoy座標面的平面；這個體積沒有上限，怎麼求？
10樓：
求由x=0 y=0 x+y=1圍成的三稜柱的體積下底為z=0 上底為z=x^2+y^2(圓錐)=∫(0,1)dx∫(0,1-x)dy∫(0,x^2+y^2)dz=∫(0,1)dx∫(0,1-x)[z](0,x^2+y^2)dy=∫(0,1)dx∫(0,1-x)[x^2+y^2]dy=∫(0,1)[x^2y+y^3/3](0,1-x)dx=∫(0,1)[x^2(1-x)+(1-x)^3/3]dx=[x^2/3-x^/2-(1-x)^4/12](0,1)=1/6
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