1樓：塞外灰狼
首先由牛頓力學，單擺的運動可作如下描述：
單擺受到的重力矩為：
m = - m * g * l * sin x.
其中m為質量，g是重力加速度，l是擺長，x是擺角。
我們希望得到擺角x的關於時間的函式，來描述單擺運動。由力矩與角加速度的關係不難得到，
m = j * β.
其中j = m * l^2是單擺的轉動慣量，β = x''（擺角關於時間的2階導數）是角加速度。
於是化簡得到
x'' * l = - g * sin x.
我們對上式適當地選擇比例係數，就可以把常數l與g約去，再移項就得到化簡了的運動方程
x'' + sin x = 0.
因為單擺的運動方程（微分方程）是
x'' + sin x = 0…………（1）
而標準的簡諧振動（如彈簧振子）則是
x'' + x = 0………………（2）
我們知道（1）式是一個非線性微分方程，而（2）式是一個線性微分方程。所以嚴格地說上面的（1）式描述的單擺的運動並不是簡諧運動。
不過，在x比較小時，近似地有sin x ≈ x。（這裡取的是弧度制。即當x -> 0時有sin x / x = o(1)。
）因而此時（1）式就變為（2）式，單擺的非線性的運動被線性地近似為簡諧運動。
然後說一下為什麼是5°。由於sin x ≈ x這個近似公式只在角度比較小的時候成立（這一個可以從正弦函式的在原點附近的圖象近似看出），所以只有在小角度下（1）式化作（2）式才是合理的。
事實上5°≈0.087266弧度，sin 5°≈0.087155，二者相差只有千分之一點幾，是十分接近的。
在低精度的實驗中，這種系統誤差可以忽略不計（因為實驗操作中的偶然誤差就比它大）。但如果換成25°，誤差高達百分之三，就不宜再看成是簡諧振動了。
由於正弦函式的性質，這個近似是角度越小，越精確，角度越大越不精確。如果角度很大（比如60度處，誤差高達17%），就完全不能說它是簡諧振動了。
2樓：匿名使用者
單擺受到的重力矩為：
m = - m * g * l * sin x.
其中m為質量，g是重力加速度，l是擺長，x是擺角。
我們希望得到擺角x的關於時間的函式，來描述單擺運動。由力矩與角加速度的關係不難得到，
m = j * β.
其中j = m * l^2是單擺的轉動慣量，β = x''（擺角關於時間的2階導數）是角加速度。
於是化簡得到
x'' * l = - g * sin x.
我們對上式適當地選擇比例係數，就可以把常數l與g約去，再移項就得到化簡了的運動方程
x'' + sin x = 0.
因為單擺的運動方程（微分方程）是
x'' + sin x = 0…………（1）
而標準的簡諧振動（如彈簧振子）則是
x'' + x = 0………………（2）
我們知道（1）式是一個非線性微分方程，而（2）式是一個線性微分方程。所以嚴格地說上面的（1）式描述的單擺的運動並不是簡諧運動。
不過，在x比較小時，近似地有sin x ≈ x。（這裡取的是弧度制。即當x -> 0時有sin x / x = o(1)。
）因而此時（1）式就變為（2）式，單擺的非線性的運動被線性地近似為簡諧運動。
然後說一下為什麼是5°。由於sin x ≈ x這個近似公式只在角度比較小的時候成立（這一個可以從正弦函式的在原點附近的圖象近似看出），所以只有在小角度下（1）式化作（2）式才是合理的。
事實上5°≈0.087266弧度，sin 5°≈0.087155，二者相差只有千分之一點幾，是十分接近的。
在低精度的實驗中，這種系統誤差可以忽略不計（因為實驗操作中的偶然誤差就比它大）。但如果換成25°，誤差高達百分之三，就不宜再看成是簡諧振動了。
由於正弦函式的性質，這個近似是角度越小，越精確，角度越大越不精確。如果角度很大（比如60度處，誤差高達17%），就完全不能說它是簡諧振動了。
3樓：08奧運成功
由一根不可伸長、質量不計的繩子，上端固定，下端系一質點，的裝置叫做單擺。單擺在擺角小於5°的條件下振動時，可近似認為是簡諧運動。單擺週期公式：t=2π[l/g].
質點振動系統的一種，是最簡單的擺。繞一個懸點來回擺動的物體，都稱為擺，但其週期一般和物體的形狀、大小及密度的分佈有關。但若把尺寸很小的質塊懸於一端固定的長度為 l且不能伸長的細繩上，把質塊拉離平衡位置，使細繩和過懸點鉛垂線所 成角度小於5°，放手後質塊往復振動，可視為質點的振動，其週期 t只和l和當地的重力加速度g有關，即 而和質塊的質量 、形狀和振幅的大小都無關係，其運動狀態可用簡諧振動公式表示，稱為單擺或數學擺 。
如果振動的角度大於 5°，則振動的週期將隨振幅的增加而變大，就不成為單擺了。如擺球的尺寸相當大，繩的質量不能忽略，就成為復擺（物理擺），週期就和擺球的尺寸有關了。首先由牛頓力學，單擺的運動可作如下描述：
單擺受到的重力矩為：
m = - m * g * l * sin x.
其中m為質量，g是重力加速度，l是擺長，x是擺角。
我們希望得到擺角x的關於時間的函式，來描述單擺運動。由力矩與角加速度的關係不難得到，
m = j * β.
其中j = m * l^2是單擺的轉動慣量，β = x''（擺角關於時間的2階導數）是角加速度。
於是化簡得到
x'' * l = - g * sin x.
我們對上式適當地選擇比例係數，就可以把常數l與g約去，再移項就得到化簡了的運動方程
x'' + sin x = 0.
因為單擺的運動方程（微分方程）是
x'' + sin x = 0…………（1）
而標準的簡諧振動（如彈簧振子）則是
x'' + x = 0………………（2）
我們知道（1）式是一個非線性微分方程，而（2）式是一個線性微分方程。所以嚴格地說上面的（1）式描述的單擺的運動並不是簡諧運動。
不過，在x比較小時，近似地有sin x ≈ x。（這裡取的是弧度制。即當x -> 0時有sin x / x = o(1)。
）因而此時（1）式就變為（2）式，單擺的非線性的運動被線性地近似為簡諧運動。
然後說一下為什麼是5°。由於sin x ≈ x這個近似公式只在角度比較小的時候成立（這一個可以從正弦函式的在原點附近的圖象近似看出），所以只有在小角度下（1）式化作（2）式才是合理的。
事實上5°≈0.087266弧度，sin 5°≈0.087155，二者相差只有千分之一點幾，是十分接近的。
在低精度的實驗中，這種系統誤差可以忽略不計（因為實驗操作中的偶然誤差就比它大）。但如果換成25°，誤差高達百分之三，就不宜再看成是簡諧振動了。
由於正弦函式的性質，這個近似是角度越小，越精確，角度越大越不精確。如果角度很大（比如60度處，誤差高達17%），就完全不能說它是簡諧振動了。
伽利略第一個發現擺的振動的等時性，並用實驗求得單擺的週期隨長度的二次方根而變動。惠更斯製成了第一個擺鐘。單擺不僅是準確測定時間的儀器�也可用來測量重力加速度的變化。
惠更斯的同時代人天文學家j.裡希爾曾將擺鐘從巴黎帶到南美洲法屬蓋亞那，發現每天慢 2.5分鐘，經過校準，回巴黎時又快 2.
5分鐘。惠更斯就斷定這是由於地球自轉引起的重力減弱。i.
牛頓則用單擺證明物體的重量總是和質量成正比的。直到20世紀中葉，擺依然是重力測量的主要儀器。
[sir_chen補充]
上面提到是角度比較小的時候單擺的近似公式,但是對於我個人而言比較喜歡追求完美.所以在此補充一點,也就是在任意角度下單擺的週期公式.但在此之前提出兩個概念:
第一類不完全橢圓積分:f(φ,x)=∫[0,φ]dθ/√(1-x²sin²θ),第一類完全橢圓積分k(x)=f(π/2,x)=∫[0,π/2]dθ/√(1-x²sin²θ)(∫[a,b]f(x)dx表示對f(x)在區間[a,b]上的定積分)
設擺長為l,擺線與豎直方向的夾角為θ,那麼單擺的運動公式為:
d²θ/dt²+g/l*sinθ=0
令ω=dθ/dt,上式改寫成:
ωdω/dθ+g/l*sinθ=0
其全解為:
ω²=2g/l*cosθ+c
給定初始條件θ=α(0≤α≤π),ω=0,則其特解為:
ω²=2g/l*(cosθ-cosα)=4g/l*(sin²(α/2)-sin²(θ/2))
所以t=∫dθ/ω=1/2*√(g/l)*∫[0,θ]dθ/√(sin²(α/2)-sin²(θ/2))
做變換sin(θ/2)=sin(α/2)sinφ,則
t=√(l/g)*∫[0,φ]dφ/√(1-sin²(α/2)*sin²φ)=√(l/g)*f(φ,sin(α/2))
以上是單擺從任意位置擺動任意角的公式,當單擺從任意位置開始擺動到豎直位置時,θ=α,此時φ=π/2
那麼t=4t=4√(l/g)*f(π/2,sin(α/2))=4√(l/g)*k(sin(α/2)),此處的α就是常說的擺角,現在看一下不同的擺角對週期的影響
單擺的近似公式為t=2π√(l/g),精確公式為t=4√(l/g)*k(sin(α/2)),記相對誤差為e(α)
那麼e(α)=(2k(sin(α/2))-π)/(2k(sin(α/2))
用maple計算得到:
e(1)=0.0019%
e(2)=0.0076%
e(3)=0.0171%
e(4)=0.0305%
e(5)=0.0476%
e(6)=0.0685%
e(7)=0.0933%
e(8)=0.1218%
e(9)=0.1542%
e(10)=0.1903%
e(11)=0.2303%
e(12)=0.2741%
e(13)=0.3217%
e(14)=0.3730%
e(15)=0.4282%
e(16)=0.4872%
e(17)=0.5500%
e(18)=0.6165%
e(19)=0.6869%
e(20)=0.7611%
實驗室一般取α≤5,所以相對誤差不超過0.05%,總的來說精度還是比較高的.
為什麼單擺運動只有在5以內才是簡諧振動
首先由牛頓力學，單擺的運動可作如下描述 單擺受到的重力矩為 m m g l sin x.其中m為質量，g是重力加速度，l是擺長，x是擺角。我們希望得到擺角x的關於時間的函式，來描述單擺運動。由力矩與角加速度的關係不難得到，m j 其中j m l 2是單擺的轉動慣量，x 擺角關於時間的2階導數 是角加...
運動量 運動強度 運動負荷各是什麼
甘肅萬通技工學校 運動強度是指單位時間內完成練習所用的力量大小和機體的緊張程度，影響運動強度的主要因素是練習時的速度和負重量。如初中生100米快速跑，跑後即刻心率可達到180次 分以上，慢跑1分鐘，心率一般在130次 分左右，顯然前者強度大，後者強度小。在體育活動中，較大強度的專案有跑 跳 攀登等，...
運動的好處是什麼，運動有什麼好處
體育鍛煉有利於人體骨骼 肌肉的生長，增強心肺功能,改善血液迴圈系統 呼吸系統 消化系統的機能狀況，有 的效果，在生理上能夠減低朋友們在成年以後患上心臟病或者是高血壓 糖尿病等疾病的機會，而且還能夠增強體質，提高自身的抵抗力，防止人們過早的進入衰老期的危險，而且還有助於減少老化的現象 01運動可以讓我...