為什麼單擺運動只有在5以內才是簡諧振動

時間 2021-08-11 18:13:44

1樓:

首先由牛頓力學,單擺的運動可作如下描述:

單擺受到的重力矩為:

m = - m * g * l * sin x.

其中m為質量,g是重力加速度,l是擺長,x是擺角。

我們希望得到擺角x的關於時間的函式,來描述單擺運動。由力矩與角加速度的關係不難得到,

m = j * β.

其中j = m * l^2是單擺的轉動慣量,β = x''(擺角關於時間的2階導數)是角加速度。

於是化簡得到

x'' * l = - g * sin x.

我們對上式適當地選擇比例係數,就可以把常數l與g約去,再移項就得到化簡了的運動方程

x'' + sin x = 0.

因為單擺的運動方程(微分方程)是

x'' + sin x = 0…………(1)

而標準的簡諧振動(如彈簧振子)則是

x'' + x = 0………………(2)

我們知道(1)式是一個非線性微分方程,而(2)式是一個線性微分方程。所以嚴格地說上面的(1)式描述的單擺的運動並不是簡諧運動。

不過,在x比較小時,近似地有sin x ≈ x。(這裡取的是弧度制。即當x -> 0時有sin x / x = o(1)。

)因而此時(1)式就變為(2)式,單擺的非線性的運動被線性地近似為簡諧運動。

然後說一下為什麼是5°。由於sin x ≈ x這個近似公式只在角度比較小的時候成立(這一個可以從正弦函式的在原點附近的圖象近似看出),所以只有在小角度下(1)式化作(2)式才是合理的。

事實上5°≈0.087266弧度,sin 5°≈0.087155,二者相差只有千分之一點幾,是十分接近的。

在低精度的實驗中,這種系統誤差可以忽略不計(因為實驗操作中的偶然誤差就比它大)。但如果換成25°,誤差高達百分之三,就不宜再看成是簡諧振動了。

由於正弦函式的性質,這個近似是角度越小,越精確,角度越大越不精確。如果角度很大(比如60度處,誤差高達17%),就完全不能說它是簡諧振動了。

上面的內容也可以參考:

2樓:

單擺的運動方程(微分方程)是

x'' + sin x = 0…………(1)而標準的簡諧振動(如彈簧振子)則是

x'' + x = 0………………(2)

(1)式是一個非線性微分方程,(2)式是一個線性微分方程。

只有sin x=x時,單擺才是簡諧振動,故單擺運動不是簡諧振動。

只是x很小時(5°以內)可以近似地看著簡諧振動。

3樓:救救

單擺只是在5度裡才近似簡諧運動,其他時候更加不像簡諧振動.這個不是普通的勻速圓周運動,他是變速的,幾複雜的

4樓:匿名使用者

單擺質點振動系統的一種,是最簡單的擺。繞一個懸點來回擺動的物體,都稱為擺,但其週期一般和物體的形狀、大小及密度的分佈有關。但若把尺寸很小的質塊懸於一端固定的長度為l且不能伸長的細繩上,把質塊拉離平衡位置,使細繩和過懸點鉛垂線所成角度小於5°,放手後質塊往復振動,可視為質點的振動,其週期t只和l和當地的重力加速度g有關,即t=2π√(l/g),而和質塊的質量、形狀和振幅的大小都無關係,其運動狀態可用簡諧振動公式表示,稱為單擺或數學擺。

如果振動的角度大於5°,則振動的週期將隨振幅的增加而變大,就不成為單擺了。如擺球的尺寸相當大,繩的質量不能忽略,就成為復擺(物理擺),週期就和擺球的尺寸有關了。伽利略第一個發現擺的振動的等時性,並用實驗求得單擺的週期隨長度的二次方根而變動。

惠更斯製成了第一個擺鐘。單擺不僅是準確測定時間的儀器�也可用來測量重力加速度的變化。惠更斯的同時代人天文學家j.

裡希爾曾將擺鐘從巴黎帶到南美洲法屬蓋亞那,發現每天慢2.5分鐘,經過校準,回巴黎時又快2.5分鐘。

惠更斯就斷定這是由於地球自轉引起的重力減弱。i.牛頓則用單擺證明物體的重量總是和質量成正比的。

直到20世紀中葉,擺依然是重力測量的主要儀器。

5樓:櫻析光

方程解的曲線,可以用微分方程表達,當角度很小時,應用數學近似可以得到這個方程的線性解一個,符合簡諧振動的定義,角度大時,解不同了.至於叫什麼振動,隨便起名的.

單擺為什麼在擺角小的時候可看成做簡諧運動

6樓:符蕾封庚

我告訴你

畫一個單擺,正中間畫條線,當單擺在一個小角度擺動的時候和這個線有個夾角

設為a設單擺長為l

單擺的球與中間線的距離=l*a(a是弧度制)當a很小時,同時也滿足,單擺的球與中間線的距離=l*sin(a)因為a很小時,a=sina(a)

所以很一把它看成單擺的球在做水平運動

光聽可能不太清楚,自己畫個圖你就明白了

為什麼非要把單擺看成是簡諧運動呢?

7樓:鬧鬧

lz就讀高中? 對於高中物理要求只為一個簡單的研究而已,如果加上空氣阻力(阻尼運動)會麻煩些,單擺所受空氣阻力位一個類似於sin的不定函式。有興趣可以上網或去圖書館看看嘛。

高中教育只是希望你們先將簡單的運動規律高清楚,今後會慢慢深入的,lz考慮的很周全~

8樓:ak_傘

物理學中,一些物理規律的得出,都是在理想狀態下概括出來的,得到這些結論可以解決生活實際問題,這是物理學目的。如果不把它的一些外在因素去掉,就不可能知道它實質性的東西。單擺也不例外,忽略它的外在因素即阻力,可以把它抽象為簡諧振動,可以使問題迎刃而解。

而對於為什麼非要把單擺這樣處理,原因很簡單,就是為了解決問題,比如以前鐘錶的核心就是單擺。

9樓:永恆哥33淄劯

因為滿足f=-kx,那就是簡諧振動,高中物理就是這樣的

單擺的運動是簡諧振動麼? 並說明理由

10樓:左丘忠仙鶯

單擺的運動是簡諧振動

在擺角小於5°的條件下,單擺的擺球所受重力沿切線的分力提供恢復力f=-mgsinθ

θ=sinθ=x/l

f=-mg/l*x

k=mg/l

滿足f=-kx所以,單擺的運動是簡諧振動。

11樓:匿名使用者

只有不計空氣阻力,且擺幅小於5度時才可以近似的看作簡諧運動

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