1樓：匿名使用者
19世紀末的德國數學家康託最早提出的集合論
2樓：匿名使用者
隨著2023年康託cantor集合論的建立,整個數學就建立在集合論的基礎上了,在十九世紀下半葉,隨著集合論悖論的產生,(羅素(russell)悖論:設=)整個數學基礎又發生了危機,從而引起了一場聲勢浩大的「公理化」運動
3樓：
《集合論》是在形式邏輯思維下的產物，而在形神邏輯思維下除了《集合論》之外，還有一個《體合論》。《集合論》是由個體組成集體的一般理論，《體合論》則是由部體構成個體的一般理論。兩論一起成為《物體論》的兩個不可或缺的部份。
高中數學第一章 集合知識詳細內容
什麼叫集合
4樓：瀧印枝圭賦
這個概念在高一的數學書上（人教版高一數學1），現在把原文提供給你，希望對你能有所幫助：我們把研究的物件稱為元素，元素組成的整體稱為集合。
何為「集合論」？
5樓：520語馨
集合論的建立
康託在柏林大學的導師是外爾斯托拉斯，庫曼和克羅內克。庫曼教授是數論專家，他以引進理想數並大大推動費馬大定理的研究而舉世聞名是。克羅內克是一位大數學家，當時許多人都以得到他的讚許為榮。
外爾斯托拉斯是一位優秀教師也是一位大數學家。他的演講給數學分析奠定了一個精確而穩定的基礎。例如，微積分中著名的觀念就是他首先引進的。
正是由於這些人的影響，康託對數論較早產生興趣，並集中精力對高斯所留下的問題作了深入的研究。他的畢業**就是關於 =0的素數問題的。這是高斯在《算術研究》中提出而未解決的問題。
這片**寫得相當出色，它足以證明作者具有深刻的洞察力和對優秀思想的繼承能力。然而，他的超窮集合論的創立，並沒有受惠於早期對數論的研究。相反，他很快接受了數學家海涅的建議轉向了其他領域。
海涅鼓勵康託研究一個十分有趣，也是較困難的問題：任意函式的三角級數的表示式是否唯一？對康託來說這個問題是促使他建立集合論的最直接原因。
函式可用三角級數表示，最早是2023年傅立葉提出來的。此後對於間斷點的研究，越來越成為分析領域中引人注目的問題，從19世紀30年代起，不少傑出的數學家從事著對不連續函式的研究，並且都在一定程度上與集合這一概念掛起了鉤。這就為康託最終建立集合論創造了條件。
2023年，海涅證明，如果表示一個函式的三角級數在區間[-π,π]中去掉函式間斷點的任意小鄰域後剩下的部分上是一致收斂的，那麼級數是唯一的。至於間斷點的函式情況如何，海涅沒有解決。康託開始著手解決這個以如此簡潔的方式表達的唯一性問題。
於，他跨出了集合論的第一步。
康託一下子就表現出比海涅更強的研究能力。他決定儘可能多地取消限制，當然這會使問題本身增加難度。為了給出最有普遍性的解，康託引進了一些新的概念。
在其後的三年中，康託先後發表了五篇有關這一題目的文章。2023年當康託將海涅提出的一致收斂的條件減弱為函式具有無窮個間斷點的情況時，他已經將唯一性結果推廣到允許例外值是無窮集的情況。康託2023年的**是從間斷點問題過度到點集論的極為重要的環節，使無窮點整合為明確的研究物件。
集合論裡的中心，難點是無窮集合這個概念本身。從希臘時代以來，無窮集合很自然地引起數學家們和哲學家們的注意。而這種集合的本質以及看來是矛盾的性質，很難象有窮集合那樣來把握它。
所以對這種集合的理解沒有任何進展。早在中世紀，人們已經注意到這樣的事實：如果從兩個同心圓出發畫射線，那麼射線就在這兩個圓的點與點之間建立了一一對應，然而兩圓的周長是不一樣的。
16世紀，伽俐略還舉例說，可以在兩個不同長的線段ab與cd之間建立一一對應，從而想象出它們具有同樣的點。
他又注意到正整數可以和它們的平方構成一一對應，只要使每個正整數同它們的平方對應起來就行了:
1 2 3 4 … … n … …
2 3 4 … … n … …
但這導致無窮大的不同的「數量級」，伽俐略以為這是不可能的.因為所有無窮大都一樣大。
不僅是伽俐略，在康託之前的數學家大多不贊成在無窮集之間使用一一對應的比較手段，因為它將出現部分等於全體的矛盾.高斯明確表態：「我反對把一個無窮量當作實體，這在數學中是從來不允許的。
無窮只是一種說話的方式… …」柯西也不承認無窮集合的存在。他不能允許部分同整體構成一一對應這件事。當然，潛無窮在一定條件下是便於使用的，但若把它作為無窮觀則是片面的。
數學的發展表明，只承認潛無窮，否認實無窮是不行的。康託把時間用到對研究物件的深沉思考中。他要用事實來說明問題，說服大家。
康託認為，一個無窮集合能夠和它的部分構成一一對應不是什麼壞事，它恰恰反應了無窮集合的一個本質特徵。對康託來說，如果一個集合能夠和它的一部分構成一一對應，它就是無窮的。它定義了基數,可數集合等概念。
並且證明了實數集是不可數的代數數是可數的.康託最初的證明發表在2023年的一篇題為《關於全體實代數數的特徵》的文章中,它標誌著集合論的誕生。
隨著實數不可數性質的確立，康託又提出一個新的，更大膽的問題。2023年，他考慮了能否建立平面上的點和直線上的點之間的一一對應。從直觀上說，平面上的點顯然要比線上的點要多得多。
康託自己起初也是這樣認識的。但三年後，康託宣佈：不僅平面和直線之間可以建立一一對應，而且一般的n維連續空間也可以建立一一對應！
這一結果是出人意外的。就連康託本人也覺得「簡直不能相信」。然而這又是明擺著的事實，它說明直觀是靠不住的，只有靠理性才能發現真理，避免謬誤。
既然n維連續空間與一維連續統具有相同的基數，於是，康託在1879到2023年間集中於線性連續統的研究，相繼發表了六篇系列文章，彙整合《關於無窮的線性點集》。前四篇直接建立了集合論的一些重要結果，包括集合論在函式論等方面的應用。其中第五篇發表於2023年，它的篇幅最長，內容也最豐富。
它不僅超出了線性點集的研究範圍，而且給出了超窮數的一個完全一般的理論，其中藉助良序集的序型引進了超窮序數的整個譜系。同時還專門討論了由集合論產生的哲學問題，包括回答反對者們對康託所採取的實無窮立場的非難。這篇文章對康託是極為重要的。
2023年，康託將它以《集合論基礎》為題作為專著單獨出版。
《集合論基礎》的出版，是康託數學研究的里程碑。其主要成果是引進了作為自然數系的獨立和系統擴充的超窮數。康託清醒地認識到，他這樣做是一種大膽的冒進。
「我很瞭解這樣做將使我自己處於某種與數學中關於無窮和自然數性質的傳統觀念相對立的地位，但我深信，超窮數終將被承認是對數概念最簡單、最適當和最自然的擴充。」《集合論基礎》是康託關於早期集合理論的系統闡述，也是他將做出具有深遠影響的特殊貢獻的開端。
康託於2023年和2023年先後發表了兩篇對超限數理論具有決定意義的**。在該文中,他改變了早期用公理定義(序)數的方法，採用集合作為基本概念。他給出了超限基數和超限序數的定義，引進了它們的符號；依勢的大小把它們排成一個「序列」；規定了它們的加法，乘法和乘方… …。
到此為止，康託所能做的關於超限基數和超限序數理論已臻於完成。但是集合論的內在矛盾開始暴露出來。康託自己首先發現了集合論的內在矛盾。
他在2023年的文章中遺留下兩個懸而未決的問題：一個是連續統假說；另一個是所有超窮基數的可比較性。他雖然認為無窮基數有最小數而沒有最大數，但沒有明顯敘述其矛盾之處。
一直到2023年羅素髮表了他的著名悖論。集合論的內在矛盾才突出出來，成為20世紀集合論和數學基礎研究的出發點。
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