1樓：仨x不等於四
餓……看了樓上的回答，問一下樓主問的到底是哪個斯托克斯公式？我看樓主說這個公式很複雜想到應該是高數裡面第二類曲線積分換曲面積分那個。但是還有一個是樓上說的流體力學裡面的……
這一類公式都是專門做向量分析用的，我學物理的，深有體會。如果你要計算物理裡面的各種場（電磁場或者流體場等等），用斯托克斯公式這一類的東西要像小學用1+1=2一樣熟練才行……
例如，證明電磁學裡面的安培環路定理就跟這個有關係，電流量就是電流密度的通量，磁感應強度b的環路積分就是環量，而斯托克斯公式就是環量和通量之間的關係。
看看這個吧，裡面有具體例子：
2樓：英國貴族紳士
1斯托克斯公式由於流體的粘滯性，固體在流體中運動會受到兩種阻力，一種是由於層流體附著在固體表面，層流體和鄰層流體間的內摩擦力；另一種是為壓強阻力，壓強阻力的實質是尾隨運動著的固體後面的流體中，有渦旋產生．固體相對於流體的速度小時渦旋還未形成，壓強阻力可被忽略，這時，阻力可視為只有前一種．半徑為r的球形物體，在粘滯係數為η的流體中，以速度v運動時，所受阻力為：f＝6πηrv（1）……………………………這就是斯托克斯公式．2斯托克斯公式的應用例項例1，有一半徑為r，密度為ρ的小球，在密度為ρ（ρ＜ρ）、粘滯係數為η的靜止流體中下落，若所受阻力遵從斯托克斯公式，試求小球的最大速度．解：最初小球在重力g＝43πr3ρg和浮力f＝43πr3ρg的作用下加速下落，速度逐漸增加，阻力按式（1）逐漸增大，直到三力平衡（圖a）時速度達到最大，小球勻速下落．由平衡條件，得：
f＋f＝g即43πr3ρg＋6πηrv0＝43πr3ρg故v0＝29（ρ－ρ）ηgr2（2）
斯托克斯公式的理解問題
3樓：
我不知道你想問什麼，因為所有積分的值都與座標系無關，那是因為有所謂的“微分的形式不變性”，或者講“換元法”。換元法說的就是一個座標內的積分，可以在另一個（微分等價的）座標內來做。
而旋度也是與座標無關的定義，雖然在有座標的時候，它按照座標來定義，但是不管你怎麼定義，對e^3的向量場x，設和它對偶的一次形式場為w，也就是w(y) = ，dw是二次形式場，設z是和*dw(*是hodge star operator)對偶的那個向量場，那麼z就是x的旋度。你可以驗證下這個定義和一般基於座標的定義一致，並且滿足上面給的方程（實際上上面給的方程也用來定義旋度）。這些定義都是不依賴於座標的，也就是說，旋度是幾何量。
不知道這是不是你要問的。
更具體一點：
設 w 是 與 f 對偶的一次形式場，用 \int_c 記在封閉路徑 c 上的線積分，\int_s 是在曲面 s 上的面積分。ds 是 c 上的線元，ds 是 s 上的面元。i :
c -> e^3 是包含對映, i^*是回拉。t 是 c 上的單位切向量，n 是 s 上的單位外法向量。
那麼左邊 \int_c
= \int_c < f, t*ds>
= \int_c ds
= \int_c w(t) ds
注意到 (i^*)(w)(t) = w(t) = w(t)*ds(t)
所以 (i^*)(w) = w(t)ds
這個式子說，w 在 c 上的限制，等於w(t)ds
所以上面的積分 \int_c w(t) ds
= \int_c (i^*)(w) （由 stokes 公式）
= \int_s dw
記 curlf 是 f 的旋度，則
= (*dw)(n)
對任意s上一點的單位正交切向量x, y, ds(x,y)=1
所以 ds ( x,y)
= = (*dw)(n)
= dw(x, y)
所以 ds = dw
所以上面的積分等於右邊。
4樓：縱小雯麴曦
設γ為分段光滑的空間有向閉曲線，s是以
為邊界的分片光滑的有向曲面，γ的正向與s的側符合右手規則，函式p(x,y,z)、q(x,y,z)、r(x,y,z)在曲面s（連同邊界γ）上具有一階連續偏導數，則有
旋度定理可以用來計算穿過具有邊界的曲面，例如，下圖中，任何右邊的曲面；旋度定理不可以用來計算穿過閉曲面的通量，例如，任何左邊的曲面。在這圖內，曲面以藍色顯示，邊界以紅色顯示。
這個公式叫做
上的斯托克斯公式或開爾文－斯托克斯定理、旋度定理。這和函式的旋度有關，用梯度算符可寫成：
另一種形式
通過以下公式可以在對座標的曲線積分和對面積的面積積分之間相互轉換：
流形上的斯托克斯公式
令m為一個可定向分段光滑n維流形，令ω為m上的n-1階
類緊支撐微分形式。如果
表示m的邊界，並以m的方向誘導的方向為邊界的方向，則
這裡dω是ω的外微分,
只用流形的結構定義。這個公式被稱為一般的斯托克斯公式（generalized
stokes'
formula），它被認為是微積分基本定理、格林公式、高－奧公式、
上的斯托克斯公式的推廣；後者實際上是前者的簡單推論。
該定理經常用於m是嵌入到某個定義了ω的更大的流形中的子流形的情形。
定理可以簡單的推廣到分段光滑的子流形的線性組合上。斯托克斯定理表明相差一個恰當形式的閉形式在相差一個邊界的鏈上的積分相同。這就是同調群和德拉姆上同調可以配對的基礎。[2]
高數：微積分中對斯托克斯公式的理解，糾結中。。。
5樓：幽靈
向量a的旋度rota,有向曲面σ,σ的正向邊界γ那麼斯托克斯公式: ∮a•ds=∫∫rota•ds右邊的曲面積分中的σ可以是任意的以γ為正向邊界的曲面就題目而言即可是橢球面也可是平面,以計算簡便為準來選取理論上你完全可以用橢球面來計算.
平面的話ds的計算當然簡便,沒人會用橢球面來計算吧 = =
6樓：手機使用者
我是一樓。
對於二樓的說法，只有當一個空間曲面是被一個平面擷取時，才可以對截得的平面部分進行積分。
很多情況下，題目給出的是引數形式的曲線，也就是說，這一條閉合曲線無法位於一個空間平面上！
這麼一來，根本就找不到一個處於空間的平面來進行積分，仍舊需要回到斯托克斯公式的原意上來，即對空間被截曲面進行積分，然後通過將之轉化成對座標平面積分來計算。
二樓口中的“第二類曲線積分”就是國內教材的“原創”，很狗血。外國教材根本就沒提過什麼“第一類第二類”。國內所說的“第二類積分”實質是通過單位法向量與曲面微元而推匯出來的，國外的這一**市場無論是邏輯還是條理都遠勝過國內。
國內985院校微積分都開有雙語課的
7樓：業兮楚澤
首先，強烈建議你買一本英文版
的微積分教材來看。我們學校的微積分是雙語的，個人認為中文版（同濟大學第五版）總是沒有英文版的教材易懂（不止是微積分，其它理工科教材也是這樣）。本人因為微積分掛了，已經惡補了半個暑假了。
英文版的教材只有級數和微分方程這兩章沒搞定了，其它章節包括習題在內都差不多吃透了。對於格林公式，高斯公式（也就是中文教材所說的什麼“通（流）量—散度公式”），斯托克斯定理有了一些自己的體會。說出來或許對你也有很大幫助。
斯托克斯公式（英文書上是stocks`theorem）中所說的曲面，指的是空間中的曲面（當這個面落在座標軸平面上時，可視為二維平面，此時斯托克斯公式等效于格林公式，同時也等效於二維情況下的通量—散度公式），所說的曲線，指的是這個空間曲面（或二維平面）的邊界曲線。你所問到的，“如果曲線是橢球面和平面的交線”的話，那麼斯托克斯公式左端的曲線積分，應當是對“橢球面和平面的交線”的曲線積分，而斯托克斯公式右端的曲面積分，自然就是對相應的空間曲面，也就是以“橢球面和平面的交線”為邊界的橢球上的曲面的積分。寫出對這個所截得的橢球曲面的積分後，再通過將空間曲面積元ds變成x-y平面（或x-z，z-y平面）上的面積元ds`，從而將空間曲面積分變成一個二重積分。
我這麼解釋應該可以解決你第一個問題吧？
至於你給出的這道題，我通過你貼的這張圖來和你解釋。從“因而”開始，第一個等號後的ds，是空間曲面微元，這一點和斯托克斯公式的右端是一樣的。前面的一個三階行列式，在英文版的教材看來，正是“curl”，也就是旋度這個東東（所以說強烈建議你去看英文版的教材，中國的譯者不給力啊~~tot）。
接著往下看，第二個等號後的ds，已經換成了相應的座標平面上的面積微元了！！！這個ds前的東西為什麼是3個負根號3分之一，我實在是不會用中文教材的那一套說法來和你解釋，老外的英文版教材真的真的很專業，而且非常比中文教材好理解！而且，這個ds太不專業了咩~~~人家英文版教材，ds用來表示空間面積微元，座標平面上的面積微元是用dσ來表示的！！！
所以說強烈建議你看英文原版教材的咩~~~~~呃。。差不多就是這樣了，還有什麼不懂的沒~~
我是一樓。
國內教材相比國外教材，肯定是比不了。這一點不光我說了，我的任課教師也是這麼說的。川大的高數課程一種是用中文版教材，還有一種是用英文版教材。
我只想說採用英文教材的課程一般學生還選不了。
國內教材我是沒怎麼看過，我也只會用英文書上的那一套來解釋這道題。一樓的回答我也說過了，我是先從一般角度來討論，然後再具體分析這一道題。有些說法是有些不太規範，本人表達能力有限，語文學得不好，就這樣了。
對於中文書上說的“第二類曲面積分”，好像有一個關於正負號的問題，什麼時候是正號，什麼時候是負號(我印象中好像是這樣，不是的話歡迎糾正)。我只知道在英文書中採用的是“單位法向量”，從而可以很快地判斷出來（我只會這麼表達意思了，您要看不明白再說）。您說的我都看得明白，但我可以肯定地說，英文教材的表述絕對比中文教材的更加好理解。
數學學院的微積分任課老師都這麼在課堂上說過。
反正就這樣了，我語言表述的的確和我所想的有偏差。那就按你的說法來好了。
理工科教材，國外勝於國內。這一點不用我多說。這更不是什麼崇洋媚外，人家先進的自然要學。
最後重申，英文版教材我現在可以說是精通其道。我承認表述上有欠缺，說玩了，歡迎一切形式的交流與還擊。
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